Verified answer

Ответ:

[tex](x-2)^2(x-a)\geq 0[/tex]  

Не нарушая общности рассуждений, считаем, что  [tex]a > 0[/tex]  .  Если бы было  [tex]a < 0[/tex]  , то рассуждения были бы такими же , но нужно было бы дать поправку на знак .

Применяем метод интервалов.

Необходимо найти нули функции  [tex]f(x)=(x-2)^2(x-a)[/tex]  . Это будут числа [tex]x=2\ ,\ x=a[/tex]  .

Так как конкретного значения числа  а  мы не знаем, то рассмотрим 3 случая.

1 случай. Число  а  находится правее числа 2 , то есть  [tex]a > 2[/tex]  .

Тогда считаем знаки на промежутках:  [tex]---[\ 2\ ]---[\, a\, ]+++[/tex]  

Так как знак неравенства  [tex]\geq[/tex]   , то выбираем промежуток, где стоит знак плюс  и не забываем, что при  х=2  функция равна 0 , тогда

 [tex]x\in \{2\}\cup [\ a\ ;+\infty \, )[/tex]  .

P.S. Знаки можно определить, если вместо числа  а  представить себе любое число, большее 2 , например, число 6 .

2 случай. Число  а=2 . Тогда имеем  

[tex](x-2)^2(x-2)\geq 0\ ,\ (x-2)^3\geq 0\ \ \Rightarrow \ \ x-2\geq 0\ \ ,\ \ x\geq 2\\\\x\in [\ 2\ ;+\infty )[/tex]  

3 cлучай. Число а  находится левее числа 2, то есть  [tex]a < 2[/tex]  .

Знаки функции:   [tex]---[\ a\ ]+++[\ 2\ ]+++[/tex]  

[tex]x\in [\ a\ ;\ 2\ ]\cup [\ 2\ +\infty \, )\ \ \Rightarrow \ \ \ x\in [\ a\ ;+\infty \, )[/tex]

Ответ:  при  [tex]a > 2[/tex]  имеем   [tex]x\in \{2\}\cup [\ a\ ;+\infty \, )[/tex]  .

            при  [tex]a\leq 2[/tex]  имеем   [tex]x\in [\ a\ ;+\infty \, )[/tex]  .