Verified answer

Доказательство:

Проведем радиусы в точки касания: OD, OY, OC. Они перпендикулярны касательным.

Тогда ADOY - квадрат (все углы прямые и смежные стороны OD и OY равны радиусу), ⇒

AD = R

AX = BY = a

ВС = BY = а, как отрезки касательных, проведенных их одной точки.

Обозначим ∠YOC = α, тогда

[tex]\boldsymbol{\angle CDY=\dfrac{\alpha}{2}}[/tex]

так как это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол α.

В четырехугольнике OCBY ∠OCB = ∠OYB = 90° по свойству касательной, значит

∠YOC + ∠B = 180°

∠B = 180° - α

Из треугольника OCY по теореме косинусов:

[tex]YC^2=OY^2+OC^2-2\cdot OY\cdot OC\cdot \cos\angle YOC[/tex]

[tex]YC^2=R^2+R^2-2R^2\cos\alpha[/tex]

[tex]YC^2=2R^2(1-\cos\alpha)[/tex]

Из треугольника YBC по теореме косинусов:

[tex]YC^2=BY^2+BC^2-2\cdot BY\cdot BC\cdot \cos\angle YBC[/tex]

[tex]YC^2=a^2+a^2-2a^2\cos(180^\circ -\alpha)[/tex]

[tex]YC^2=2a^2+2a^2\cos\alpha[/tex]

[tex]YC^2=2a^2(1+\cos\alpha)[/tex]

Приравниваем:

[tex]2R^2(1-\cos\alpha )=2a^2(1+\cos\alpha )[/tex]
[tex]R^2=\dfrac{a^2(1+\cos\alpha )}{1-\cos\alpha }[/tex]

Применим формулу котангенса половинного аргумента:

[tex]ctg^2 \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}[/tex]

[tex]R^2=a^2\cdot ctg^2\dfrac{\alpha }{2}[/tex]

[tex]R=a\cdot ctg\dfrac{\alpha }{2}[/tex]

[tex]ctg\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{R}{a}[/tex]

А в прямоугольном треугольнике XDA

[tex]ctg\angle XDA=\dfrac{R}{a}[/tex], значит,

[tex]\boldsymbol{\angle XDA=\dfrac{\alpha}{2}}[/tex]

Итак, получили, что

[tex]\boldsymbol{\angle XDA=\angle CDY=\dfrac{\alpha}{2}}[/tex]

Что и требовалось доказать.