Verified answer

Математическое ожидание равно сумме попарных произведений возможных значений случайной величины на вероятности, с которыми они достигаются:

[tex]M(X)=\sum\limits_i x_ip_i[/tex]

Для определений вероятностей в этой задаче будем использовать геометрическую вероятность. Геометрическая вероятность определяется как отношение площади, на которой принимается требуемое значение, к общей рассматриваемой площади:

[tex]p_i=\dfrac{S_i}{S}[/tex]

Общая рассматриваемая площадь в данной задаче - круг радиусом [tex]R_{500}[/tex] (в качестве индекса указывается длина в метрах).

Таким образом общая площадь:

[tex]S=\pi R_{500}^2[/tex]

Рассмотрим случай, когда человек стоит на расстоянии от 50 до 150 метров от вышки. Случайная величина в этом случае принимает значение [tex]x_3=3[/tex]. Такой участок представляет собой кольцо, ограниченное окружностями радиусами [tex]R_{50}[/tex] и [tex]R_{150}[/tex]. Площадь кольца:

[tex]S_3=\pi R_{150}^2-\pi R_{50}^2[/tex]

Рассмотрим случай, когда человек стоит на расстоянии от 150 до 300 метров от вышки. Случайная величина в этом случае принимает значение [tex]x_2=2[/tex]. Такой участок представляет собой кольцо, ограниченное окружностями радиусами [tex]R_{150}[/tex] и [tex]R_{300}[/tex]. Площадь кольца:

[tex]S_2=\pi R_{300}^2-\pi R_{150}^2[/tex]

Рассмотрим случай, когда человек стоит на расстоянии от 300 до 500 метров от вышки. Случайная величина в этом случае принимает значение [tex]x_1=1[/tex]. Такой участок представляет собой кольцо, ограниченное окружностями радиусами [tex]R_{300}[/tex] и [tex]R_{500}[/tex]. Площадь кольца:

[tex]S_1=\pi R_{500}^2-\pi R_{300}^2[/tex]

Последний случай - человек стоит на расстоянии до 50 метров от вышки. Случайная величина в этом случае принимает значение [tex]x_0=0[/tex]. Такой участок представляет собой круг, ограниченный окружностью радиусом [tex]R_{50}[/tex]. Площадь круга:

[tex]S_0=\pi R_{50}^2[/tex]

Составим выражение для математического ожидания:

[tex]M(X)=x_0p_0+x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3[/tex]

[tex]M(X)=0\cdot\dfrac{S_0}{S} +1\cdot\dfrac{S_1}{S} +2\cdot\dfrac{S_2}{S} +3\cdot\dfrac{S_3}{S}[/tex]

[tex]M(X)=\dfrac{S_1+2S_2 +3S_3}{S}[/tex]

Подставим значение площадей:

[tex]M(X)=\dfrac{\pi R_{500}^2-\pi R_{300}^2+2(\pi R_{300}^2-\pi R_{150}^2) +3(\pi R_{150}^2-\pi R_{50}^2)}{\pi R_{500}^2}[/tex]

[tex]M(X)=\dfrac{R_{500}^2-R_{300}^2+2(R_{300}^2-R_{150}^2) +3(R_{150}^2-R_{50}^2)}{R_{500}^2}[/tex]

[tex]M(X)=\dfrac{R_{500}^2-R_{300}^2+2R_{300}^2-2R_{150}^2 +3R_{150}^2-3R_{50}^2}{R_{500}^2}[/tex]

[tex]M(X)=\dfrac{R_{500}^2+R_{300}^2+R_{150}^2-3R_{50}^2}{R_{500}^2}[/tex]

[tex]M(X)=\dfrac{500^2+300^2+150^2-3\cdot50^2}{500^2}[/tex]

[tex]M(X)=\dfrac{50^2+30^2+15^2-3\cdot5^2}{50^2}[/tex]

[tex]M(X)=\dfrac{2500+900+225-3\cdot25}{2500}[/tex]

[tex]M(X)=\dfrac{3400+225-75}{2500}=\dfrac{3550}{2500}=\dfrac{71}{50} =1.42[/tex]

Ответ: 1.42