Простая задача. Понятно, что этот многочлен не может быть первой степени, поскольку если P(x)=x+a, где a - целое число, то единственный корень этого многочлена - это x=-a, но [tex]3+2\sqrt{2}[/tex] целым числом не является. Если это не считается очевидным фактом, докажем, что [tex]3+2\sqrt{2}[/tex] лежит между 5 и 6 (а между ними целых чисел нет) (эти границы получены благодаря тому, что корень из 2 равен примерно 1,4; впрочем, мы не обязаны отчитываться, как мы получили границы 5 и 6, главное доказать, что наше число лежит между ними). [tex]5 < 3+2\sqrt{2} < 6\Leftrightarrow 2 < 2\sqrt{2} < 3\Leftrightarrow 2^2=4 < (2\sqrt{2})^2=8 < 3^2=9,[/tex]
что очевидно.
Итак, степень многочлена как минимум вторая. Подобрать многочлен второй степени с целыми коэффициентами и с таким корнем очень просто - это многочлен с корнями [tex]3\pm 2\sqrt{2}[/tex]; их сумма равна 6, а произведение равно 1, поэтому (по теореме Виета) это многочлен P(x)=x²-6x+1, а P(1)=1-6+1=-4.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
- 4.
Объяснение:
Простая задача. Понятно, что этот многочлен не может быть первой степени, поскольку если P(x)=x+a, где a - целое число, то единственный корень этого многочлена - это x=-a, но [tex]3+2\sqrt{2}[/tex] целым числом не является. Если это не считается очевидным фактом, докажем, что [tex]3+2\sqrt{2}[/tex] лежит между 5 и 6 (а между ними целых чисел нет) (эти границы получены благодаря тому, что корень из 2 равен примерно 1,4; впрочем, мы не обязаны отчитываться, как мы получили границы 5 и 6, главное доказать, что наше число лежит между ними). [tex]5 < 3+2\sqrt{2} < 6\Leftrightarrow 2 < 2\sqrt{2} < 3\Leftrightarrow 2^2=4 < (2\sqrt{2})^2=8 < 3^2=9,[/tex]
что очевидно.
Итак, степень многочлена как минимум вторая. Подобрать многочлен второй степени с целыми коэффициентами и с таким корнем очень просто - это многочлен с корнями [tex]3\pm 2\sqrt{2}[/tex]; их сумма равна 6, а произведение равно 1, поэтому (по теореме Виета) это многочлен P(x)=x²-6x+1, а P(1)=1-6+1=-4.