Ответ:

1. х ∈ R;

2. функция четная;

3. 1) х = 0, у = 0; у = 0, х = 0;     х = √2;     х = -√2.

4. асимптот нет.

5. Функция возрастает на промежутках: (-∞; -1]; [0; 1].

Функция убывает на промежутках: [-1; 0]; [1; +∞).

x max = ± 1;  x min = 0.

6. Функция вогнута на промежутке [-0,6; 0,6].

Функция выпукла на промежутках: (-∞; -0,6]; [0,6; +∞).

х перегиба = ± 1/√3.

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

f(x) = 2x² - x⁴.

1. ОДЗ: х ∈ R.

2. Четность, нечетность.

Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

f(-x) = 2 · (-x)² - (-x)⁴ = 2x² - x⁴

f(-x) = f(x) ⇒ функция четная.

3. Пересечение с осями.

1) х = 0, у = 0;

2) у = 0, х²(2 - х²) = 0

х²(√2 - х)(√2 + х) = 0

х = 0;     х = √2;     х = -√2.

4. Асимптоты.

Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную, приравняем к нулю, найдем корни.

Отметим их на числовой оси и определим знак производной на промежутках.

• Если "+", то функция возрастает, если "-" - убывает.

f'(x) = 2 · 2x - 4x³ = 4x (1 - x²) = 4x (1 - x)(1 + x)

x = 0;     x = 1;     x = -1.

[tex]+++[-1]---[0]+++[1]---[/tex]

Функция возрастает на промежутках: (-∞; -1]; [0; 1].

Функция убывает на промежутках: [-1; 0]; [1; +∞).

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

x max = ± 1;  x min = 0.

y (±1) = 1;    y(0) = 0.

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю, найдем корни.

Отметим их на числовой оси и определим знак второй производной на промежутках.

f''(x) = 4 - 12x² = 4(1 - 3x²) = 4(1 - x√3)(1 + x√3)

x = 1/√3 ≈ 0,6;     x = -1/√3 ≈ -0,6.

[tex]---[-0,6]+++[0,6]---[/tex]

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция вогнута на промежутке [-0,6; 0,6].

Функция выпукла на промежутках: (-∞; -0,6]; [0,6; +∞).

х перегиба = ± 1/√3.

y (± 1/√3) = 5/9

Строим график.

#SPJ1