Verified answer

[tex]f(x)=\dfrac{4}{(3-2x)^2}[/tex]

Сначала найдем общий вид первообразных данной функции.

Для этого будем использовать следующие правила:

1. Если [tex]F(x)[/tex] - первообразная для [tex]f(x)[/tex], то [tex]kF(x)[/tex] - первообразная для [tex]kf(x)[/tex].

2. Если [tex]F(x)[/tex] - первообразная для [tex]f(x)[/tex], то [tex]\dfrac{1}{k} F(kx+m)[/tex] - первообразная для [tex]f(kx+m)[/tex].

Кроме этого, надо знать таблицу первообразных. Таблица первообразных - это по сутт таблица производных с той лишь разницей, что производные в ней играю роль исходных функций, а исходные функции - роль первообразных.

Пользуясь первым правилом, мы понимаем: чтобы найти первообразную функции [tex]f(x)=\dfrac{4}{(3-2x)^2}[/tex], надо найти первообразную функции [tex]f(x)=\dfrac{1}{(3-2x)^2}[/tex].

Пользуясь первым правилом, мы понимаем: чтобы найти первообразную функции [tex]f(x)=\dfrac{1}{(3-2x)^2}[/tex], надо найти первообразную функции [tex]f(x)=\dfrac{1}{x^2}[/tex].

Можно вспомнить, что выражение [tex]\dfrac{1}{x^2}[/tex] фигурирует в таблице производных, а именно выполняется соотношение:

[tex]\left(\dfrac{1}{x} \right)'=-\dfrac{1}{x^2}[/tex]

или:

[tex]\left(-\dfrac{1}{x} \right)'=\dfrac{1}{x^2}[/tex]

Таким образом, первообразной для для функции [tex]f(x)=\dfrac{1}{x^2}[/tex] является функция [tex]F(x)=-\dfrac{1}{x}[/tex], а общий вид таких первообразных задается как [tex]F(x)=-\dfrac{1}{x}+C[/tex], где [tex]C[/tex] - некоторая константа.

Теперь вместо [tex]x[/tex] подставим в функцию выражение, имеющее вид линейной функции: [tex]f(x)=\dfrac{1}{(3-2x)^2}[/tex]. По второму правилу, чтобы получить первообразную такой функции, мы должны в исходную первообразную вместо [tex]x[/tex] подставить это выражение и разделить получившуюся функцию на угловой коэффициент выражения. Получим:

[tex]F(x)=\dfrac{1}{-2}\cdot\left(- \dfrac{1}{3-2x}\right)+C=\dfrac{1}{2(3-2x)}+C[/tex]

Теперь умножим функцию на 4: [tex]f(x)=\dfrac{4}{(3-2x)^2}[/tex]. По первому правилу, тогда и первообразная умножится на 4:

[tex]F(x)=\dfrac{4}{2(3-2x)}+C=\dfrac{2}{3-2x}+C[/tex]

Над константой какие-либо действия можно не выполнять, так как в результате все равно будет получена константа.

Множество первообразных можно также найти с помощью неопределенного интеграла, воспользовавшись формулой:

[tex]\int\limits {x^n} \, dx =\dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C,\ n\neq -1[/tex]

[tex]\int\limits {kf(x)} \, dx =k\int\limits {f(x)} \, dx[/tex]

[tex]\int\limits {f(x)g'(x)} \, dx =\int\limits {f(x)} \, d(g(x))[/tex]

[tex]d(f(x))=d(f(x)+C)[/tex]

Запишем:

[tex]\int\dfrac{4}{(3-2x)^2}\,dx=4\int\dfrac{dx}{(3-2x)^2}=\dfrac{4}{-2} \int\dfrac{-2dx}{(3-2x)^2}=[/tex]

[tex]=-2 \int\dfrac{d(-2x)}{(3-2x)^2}=-2 \int\dfrac{d(3-2x)}{(3-2x)^2}=-2 \int(3-2x)^{-2}d(3-2x)=[/tex]

[tex]=-2\cdot\dfrac{(3-2x)^{-1}}{-1} +C=\dfrac{2}{3-2x}+C[/tex]

Теперь найдем значение [tex]C[/tex], при котором график функции [tex]y=\dfrac{2}{3-2x}+C[/tex] проходит через точку [tex]\left(-\dfrac{1}{2} ;\ \dfrac{1}{16} \right)[/tex]:

[tex]\dfrac{1}{16} =\dfrac{2}{3-2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)}+C[/tex]

[tex]\dfrac{2}{3+1}+C=\dfrac{1}{16}[/tex]

[tex]\dfrac{2}{4}+C=\dfrac{1}{16}[/tex]

[tex]C=\dfrac{1}{16}-\dfrac{2}{4}[/tex]

[tex]C=\dfrac{1}{16}-\dfrac{8}{16}[/tex]

[tex]C=-\dfrac{7}{16}[/tex]

Значит, искомая первообразная имеет вид:

[tex]F(x)=\dfrac{2}{3-2x}-\dfrac{7}{16}[/tex]