Verified answer

Ответ:

1) ( 12 ; 3 )  ,  ( -0,5 ; -2)

2) (√5 ; √21 )  ,  (-√5 ; √21)  ,   (√5 ;  -√21 )  , (-√5 ;  -√21 )

3)  ( 2 ; 4 )  ,  (-2 ; -4) , (√2 ; -√5) ,  (-√2 ; √5)

4) (3√2  ;  -8 + 3√2)  ,  (-3√2  ;  -8 - 3√2)  ,  (4  ;  2 ) , ( -2 ; -4)

Объяснение:

№1

[tex]\left \{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x} = \dfrac{15}{4} \\\\ 2x-5y = 9 \end{array} \right.[/tex]

Рассмотрим первое уравнение системы

[tex]\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x} = \dfrac{15}{4}[/tex]

За счет симметрии мы можем ввести замену

[tex]\star ~~t =\dfrac{x}{y} ~~ , ~~\dfrac{1}{t} = \dfrac{y}{x}~~\star[/tex]

[tex]\displaystyle t -\frac{1}{t} =\frac{15}{4} ~~ \big | \cdot 4t \\\\ 4t^2 - 15t -4 =0 \\\\ D = 225 + 64 = 289 \\\\\ t_1 = \frac{17 + 15}{8} = 4\\\\ t_2= \frac{17 -15}{8} = \frac{1}{4}[/tex]

Теперь мы должны рассмотреть два случая :

[tex]\textsf{I)} ~~ t_1 =\dfrac{x}{y} = 4 \Rightarrow \boxed{x = 4y}[/tex]

Подставим получившееся выражение в рамке , во второе уравнение системы

[tex]2x - 5y = 9 \\\\ 2\cdot 4y -5y = 9 \\\\ 3y = 9 \\\\ y_1 = 3 ~ ~, ~~ x_1 = 12[/tex]

[tex]\textsf{II)} ~~ t_1 =\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \boxed{y = 4x}[/tex]

Аналогично

[tex]2x - 5y = 9 \\\\ 2x -5\cdot 4x = 9 \\\\ -18x = 9 \\\\ x_2 = -0,5 ~ ~; ~~ y_2 =-2[/tex]

Данная система имеет два решения

( 12 ; 3 )  ,  ( -0,5 ; -2)

№2

[tex]\left \{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2 -4} + \sqrt{y^2 +4} = 6 \\\\ x^2 + y^2 = 26 \end{array} \right.[/tex]

ОДЗ :

[tex]x^2-4\geqslant 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty ~ ; ~- 2] \cup [~ 2 ~ ; ~ \infty )[/tex]

Из второго уравнения системы

[tex]x^2 + y^2 = 26 \\\\ x^2 = 26 -y^2[/tex]

Подставляем в первое уравнение системы

[tex]\sqrt{26 -y^2 -4} +\sqrt{y^2 + 4} = 6 \\\\ \sqrt{22 -y^2 }+\sqrt{y^ 2 + 4} = 6 \\\\ \sqrt{22- y^2 }= 6-\sqrt{ y^2 + 4}[/tex]

ОДЗ :

[tex]22- y^2 \geqslant 0 \Leftrightarrow y \in [ -\sqrt{22} ~ ; ~ \sqrt{22} ~ ][/tex]

Возводим обе части в квадрат

[tex]22 - y^2 = 36 -12\sqrt{y^2 + 4} + y^2 + 4 \\\\ 12\sqrt{y^2 +4} = 2y^2 + 18 ~ \big | :2 \\\\ 6\sqrt{y^2 + 4}= y^2 + 9 \\\\[/tex]

Снова возводим в квадрат

[tex]36(y^2 + 4) = y^4 + 18 y^2 + 81 \\\\ y^4 -18y^2 -63 =0 \\\\ y^4 - 18y^2 - 54 - 9 =0 \\\\ y^4 - 9 -(18y^2 + 54) =0 \\\\ (y^2 - 3)(y^2 + 3) - 18(y^2 + 3) =0 \\\\ (y^2 + 3)(y^2 -3-18 )=0 \\\\ (y^2 + 3)(y^2 - 21) =0[/tex]

Уравнение в первой скобке не имеет действительных корней , а во а во второй имеет

[tex]y^2 - 21= 0 \\\\ y_{1;2} = \pm \sqrt{21}[/tex]

Оба корня  принадлежат промежутку  [tex]y \in [ -\sqrt{22} ~ ; ~ \sqrt{22} ~ ][/tex]

Находим  x , рассмотрев два случая

Первый

[tex]y = \sqrt{21} \\\\ x^2 =26- y^2 \\\\ x^2 = 26 -21 \\\\ x^2 = 5 \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{5}[/tex]

Оба корня  удовлетворяют ОДЗ

Второй

[tex]y = -\sqrt{21} \\\\ x^2 =26- y^2 \\\\ x^2 = 26 -21 \\\\ x^2 = 5 \Rightarrow x_{3,4} = \pm \sqrt{5}[/tex]

Таким образом данная система имеет 4  симметричных решения

(√5 ; √21 )  ,  (-√5 ; √21)  ,   (√5 ;  -√21 )  , (-√5 ;  -√21 )

№3

[tex]\left \{ \begin{array}{l} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0 \\\\ x^2 + 2xy -y^2= 28 \end{array} \right.[/tex]

Рассмотрим первое уравнение системы

[tex]x^2 + 3xy - 10y^2 =0 \\\\ x^2 + 3xy - 6y^2 - 4y^2 =0 \\\\ x^2 -4y^2 + 3xy - 6y^2 =0 \\\\ (x-2y)(x+ 2y ) +3y(x-2y) =0 \\\\ (x-2y)(x+ 2y + 3y ) =0 \\\\ (x-2y)(x + 5y ) =0[/tex]

[tex]\left [ \begin{array}{l} x - 2y = 0 \\\\ x + 5y =0 \end{array} \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} x_1 = 2y \\\\ x_2 =- 5y \end{array}[/tex]

Подставим  x = 2y  второе уравнение системы

[tex](2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot y - y^2 = 28 \\\\ 4y^2 +4y^2 - y^2 = 28 \\\\ 7y^2 = 28 \\\\ y_{1;2} =\pm 2 \Rightarrow x_{1;2} = \pm 4[/tex]

Теперь подставим  x = -5y  

[tex](-5y)^2 + 2\cdot (-5y)\cdot y -y^2 = 28 \\\\ 25 y^2 -10y^2 -y^2= 28 \\\\ 14y^2 = 28 \\\\ y_{3;4 } = \pm \sqrt{2} \Rightarrow x_{3;4} = \mp5\sqrt{2}[/tex]

Данная  имеет 4  решения

( 2 ; 4 )  ,  (-2 ; -4) , (√2 ; -√5) ,  (-√2 ; √5)

№4

[tex]\left \{ \begin{array}{l} x-y + xy = 10 \\\\ xy (x-y)= 16 \end{array} \right.[/tex]

Введем  замену

[tex]x- y = a \\\\ xy = b[/tex]

[tex]\left \{ \begin{array}{l} a + b = 10 \\\\ ab = 16 \end{array} \right. \Leftrightarrow I) ~a = 8 ~ , ~ b = 2 ~~~ II)~ a = 2 ~~ , ~~ b = 8[/tex]

И мы получим :

[tex]I ) ~\left \{ \begin{array}{l} x-y = 8 \\\\ xy = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x = 8 + y \\\\ xy = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow[/tex]

[tex](8+y) y =2 \\\\ y^2 +8y = 2 \\\\ y^2 + 8y -2 =0 \\\\ D = 64 + 8 =72 \\\\ y_{1;2} = \dfrac{-8\pm 6\sqrt{2} }{2}= -8 \pm 3\sqrt{2}[/tex]

[tex]x_{1;2} = 8 + y_{1;2} = 8 - 8 \pm 3\sqrt{2} \\\\ x_{1;2} = \pm 3\sqrt{2}[/tex]

[tex]II ) ~\left \{ \begin{array}{l} x-y = 2 \\\\ xy = 8 \end{array} \right.[/tex]

В данном случае можно подобрать корни  как  в Теореме Виета

[tex]\left \{ \begin{array}{l} x-y = 2 \\\\ xy = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow I) ~x_3 = 4 ~ , ~ y_3 = 2 ~~~ ~~~ II ) ~x_4 = -2 ~~ , ~~ y_4=- 4[/tex]

По итогу данная система будет иметь 4 решения

(3√2  ;  -8 + 3√2)  ,  (-3√2  ;  -8 - 3√2)  ,  (4  ;  2 ) , ( -2 ; -4)

#SPJ1