Ответ:

3/16

Объяснение:

∆FED

FO- медиана к стороне FD

Вторая медиана опуститься на середину стороны ЕD.

т.К- пересечение этих медиан.

Вспомним что медианы делятся в отношении 2:1 начоная от вершины.

ЕТ=ТО, половина стороны равностороннего треугольника.

ЕТ=1/2=0,5 ед

Тогда ЕК:КТ=2:1.

КТ=ЕТ/3=0,5/3 ед

ТО=0,5 ед.

∆FBC

BO- медиана, опускается на FC.

Медиана с точки F, опуститься на середину ВС.

т.М- пересечение этих медиан.

ВМ:МО=2:1. медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1.

ОВ=1 ед.

ОМ=ОВ/3=1/3 ед

Тогда КМ=КТ+ТО+ОМ=0,5+0,5/3+1/3=

=0,5+1,5/3=1 ед.

Тоже самое для второй диагонали.

Sтрапеции=d1*d2*sin60°/2=1*1*√3/2/2=√3/2*1/2=

=√3/4 ед²

(√3/4)²=3/16

Verified answer

Ответ:

S² = 3/16

Объяснение:

4. ABCDEF правильный шестиугольник со стороной 1. Отрезки FB, FC и FD делят его на 4 треугольника. Соединяя точки пересечения медиан этих треугольников, получаем четырёхугольник. Найти квадрат его площади. Ответ в виде обыкновенной дроби.

Дано: ABCDEF - правильный шестиугольник;

АВ = 1

FB, FC и FD делят его на 4 треугольника;

Q,R,S,P - точки пересечения медиан данных треугольников

Найти: S(QRSP)

Решение:

Докажем, что QRSP - равнобедренная трапеция.

По свойству правильного шестиугольника большая диагональ равна 2а, а - сторона шестиугольника;

• Малая диагональ делит большую в отношении 1 : 3.

⇒ EV = AT = 2а/4 = 2/4 = 1/2

• Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, начиная от вершины.

⇒   [tex]\displaystyle EQ = AP = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} =\frac{1}{3}[/tex]

EO = AO = 1 (свойство правильного шестиугольника)

[tex]\displaystyle QO=OP=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}[/tex]

FEOA - ромб.

• Диагонали ромба являются биссектрисами углов.

⇒ OF - биссектриса.

Рассмотрим ΔQOP - равнобедренный.

OX - биссектриса, высота.

ОХ ⊥QP

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

⇒ ОР ⊥ АЕ.

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ QP || AE.

OD = OB = 1 (свойство правильного шестиугольника)

[tex]\displaystyle OR =OS=1\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}[/tex]

⇒ ΔSOR - равнобедренный.

OY - биссектриса, высота.

OY ⊥ SR; OC ⊥ BD ⇒ RS || BD

QP || AE; RS || BD

Так как АЕ || BD (свойство правильного шестиугольника), то PQ || RS

⇒ QRSP - трапеция.

[tex]\displaystyle PR = PO + OR = \frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1[/tex]

[tex]\displaystyle QS = QO + OS = \frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1[/tex]

Если в трапеции диагонали равны, то трапеция равнобедренная.

QRSP - равнобедренная трапеция.

⇒ Можем применить формулу для нахождения площади равнобедренной трапеции:

[tex]\displaystyle S=\frac{d^2}{2}sin\alpha[/tex] ,

где d - диагональ трапеции, α - угол между диагоналями.

∠QOR = 60° (свойство правильного шестиугольника)

[tex]\displaystyle S(QRSP)=\frac{1^2}{2}\cdot sin60^0=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3} }{2}=\frac{\sqrt{3} }{4}[/tex]

Тогда квадрат площади:

[tex]\displaystyle S^2=\frac{3}{16}[/tex]