Ответ:

Однородная система лин. уравнений .

[tex]\left\{\begin{array}{lll}x_1+x_2+3x_3-2x_4+3x_5=0\\2x_1+2x_2+4x_3-x_4+3x_5=0\\x_1+x_2+5x_3-5x_4+6x_5=0\end{array}\right[/tex]  

Приведём матрицу системы к ступенчатому виду .

[tex]\bf A=\left(\begin{array}{ccccc}1&1&3&-2&3\\2&2&4&-1&3\\1&1&5&-5&6\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccccc}1&1&3&-2&3\\0&0&-2&3&-3\\0&0&2&-3&3\end{array}\right)\sim \\\\\\=\sim \left(\begin{array}{ccccc}1&1&3&-2&3\\0&0&2&-3&3\\0&0&0&0&0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccccc}1&1&3&-2&3\\0&0&2&-3&3\end{array}\right)[/tex]  

1)   1 стр. * (-2) + 2 стр .   ;   3 стр. - 1 стр.

2)   2 стр. + 3 стр.  

Базисные неизвестные : х₁  и  х₃  , свободные неизвестные :  х₂, х₄ , х₅  

[tex]\bf 2x_3=3x_4-3x_5\ \ \to \ \ \ x_3=\dfrac{3}{2}\, x_4-\dfrac{3}{2}\, x_5\\\\x_1=-x_2-3x_3+2x_4-3x_5=-x_2-\dfrac{9}{2}\, x_4+\dfrac{9}{2}\, x_5+2x_4-3x_5=\\\\=-x_2-\dfrac{5}{2}\, x_4+\dfrac{3}{2}\, x_5[/tex]  

Свободные неизвестные обозначим  х₂=2C₁ , х₄=2С₂ , х₅=2С₃  . Тогда решение запишем в виде

[tex]\bf X=\left(\begin{array}{ccccc}\bf -2C_1-5C_2+3C_3\\\bf C_1\\\bf 3C_2-3C_3\\\bf \bf C_2\\\bf C_3\end{array}\right)[/tex]  

Фундаментальная система решений :

[tex]\bf X=C_1\left(\begin{array}{ccccc}\bf -2\\\bf 1\\\bf 0\\\bf \bf 0\\\bf 0\end{array}\right)+C_2\left(\begin{array}{ccccc}\bf-5\\\bf 0\\\bf 3\\\bf \bf 1\\\bf 0\end{array}\right)+C_3\left(\begin{array}{ccccc}\bf 3\\\bf 0\\\bf -3\\\bf \bf 0\\\bf 1\end{array}\right)[/tex]