Verified answer

Ответ:

a)  Замена переменной (подстановка) , выделение дифференциала функции .

[tex]\bf \displaystyle \int\limits_1^4\, \frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx=\int\limits_1^4\, sin\sqrt{x}\cdot \frac{dx}{\sqrt{x}}=\Big[\ t=\sqrt{x} \ ,\ dt=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\ ,\ t_1=1\ ,\ t_2=2\ \Big]=\\\\\\=2\int\limits_1^2\, sint\cdot dt=2\cdot (-cost)\Big|_1^2=-2\cdot (cos\, 2-cos\, 1)=2\cdot (cos1-cos2)[/tex]  

б)  Интегрирование по частям :   [tex]\bf \displaystyle \int u\, dv=uv-\int v\, du[/tex]   .

[tex]\bf \displaystyle \int\limits_0^{e-1}\, ln(x+1)\, dx=\Big[\ u=ln(x+1)\ ,\ du=\frac{dx}{x+1}\ ,\ dv=dx\ ,\ v=x\ \Big]=\\\\\\=x\cdot ln(x+1)\Big|_0^{e-1}-\int\limits_0^{e-1}\, \frac{x\cdot dx}{x+1}=x\cdot ln(x+1)\Big|_0^{e-1}-\int\limits_0^{e-1}\Big(1-\frac{1}{x+1}\Big)=\\\\\\=(e-1)\cdot lne-0-\Big(x-ln|x+1|\Big)\Big|_0^{e-1}=\\\\\\=(e-1)\cdot 1-\Big((e-1)-\underbrace{\bf lne}_{1}-0\Big)=(e-1)-(e+1)+1=1[/tex]