Verified answer

Ответ:

Для знаходження загального розв'язку однорідного диференціального рівняння (x²+y²)dx - xydy = 0, спробуємо використати метод розподілення змінних.

1. Поділимо обидві частини рівняння на x²:

(dx)/(x) - (ydy)/(x²+y²) = 0.

2. Замінимо змінні, вводячи нову змінну u = y/x. Тоді можна записати, що y = ux та dy = udx + xdu.

3. Підставимо ці значення у рівняння:

(dx)/(x) - (uxdx + xdu)/(x²+u²x²) = 0.

4. Скоротимо деякі члени:

(dx)/(x) - (uxdx + xdu)/(x²(1+u²)) = 0.

5. Перегрупуємо:

(dx)/(x) - udx/(1+u²) - (du)/(1+u²) = 0.

6. Зігноруємо дужки, оскільки вони не впливають на розв'язок:

(dx)/(x) - udx/(1+u²) - (du)/(1+u²) = 0.

7. Об'єднаємо дроби з dx:

((1-u)/(x))dx - (du)/(1+u²) = 0.

8. Перемножимо обидві частини на (1+u²):

((1-u)/(x))(1+u²)dx - (du) = 0.

9. Розкриємо дужки:

((1-u)(1+u²))/(x)dx - (du) = 0.

10. Скоротимо деякі члени:

((1-u)(1+u²))dx - xdu = 0.

11. Поділимо на (1-u)(1+u²):

(dx)/(x) - (du)/(1-u²) = 0.

12. Зігноруємо дужки:

(dx)/(x) - (du)/(1-u²) = 0.

13. Розмінимо змінні:

(du)/(1-u²) - (dx)/(x) = 0.

14. Знайдемо інтеграл обох частин рівняння:

∫(du)/(1-u²) - ∫(dx)/(x) = C,

де C - довільна константа інтегрування.

15. Обчислимо інтеграли:

arctanh(u) - ln|x| = C.

16. Замінимо назад змінну u = y/x:

arctanh(y/x) - ln|x| = C.

Пошаговое объяснение:

Можно лучший ответ)