Verified answer

Введем событие "Даша выиграла у Гоши".

Вероятность наступления этого события [tex]p=0.4[/tex].

Вероятность ненаступления этого события [tex]q=1-p=0.6[/tex].

Пусть число [tex]X[/tex] - количество сыгранных игр до первой победы Даши.

Случайная величина [tex]X[/tex] в этом случае называется геометрически распределенной. Составим ее закон распределения.

Если Даша выиграет в первой игре, то всего и будет проведена одна игра. Произойдет это с той вероятностью, с которой Даша может выиграть:

[tex]P(X=1)=p[/tex]

Две игры произойдет в следующем случае: если в первой игре Даша проиграет, а во второй выиграет:

[tex]P(X=2)=qp[/tex]

В общем случае, k игр будет проведено всего тогда, когда в первых (k-1) играх Даша проиграет, а в последней выиграет:

[tex]P(X=k)=q^{k-1}p[/tex]

Таким образом, закон распределения:

[tex]\begin{array}{ccccccc}X&1&2&3&\ldots&k&\ldots\\P(X)&p&qp&q^2p&\ldots&q^{k-1}p&\ldots\end{array}[/tex]

Математическое ожидание - это сумма попарных произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения достигаются.

[tex]M(X)=1\cdot p+2qp+3q^2p+\ldots+kq^{k-1}p+\ldots[/tex]

[tex]M(X)=p(1+2q+3q^2+\ldots+kq^{k-1}+\ldots)[/tex]

Задача сводится к тому, чтобы каким-то образом найти сумму, записанную в скобках. Данная сумма представляет собой сумму ряда, про который можно доказать, что он сходится, а затем определить его сумму. Но непосредственно этим рядом мы заниматься не будем.

Предположим, что в скобках записана некоторая функция от [tex]q[/tex]:

[tex]M(X)=p\cdot f(q)[/tex]

Рассмотрим функцию:

[tex]f(q)=1+2q+3q^2+\ldots+kq^{k-1}+\ldots[/tex]

Проинтегрируем эту функцию:

[tex]F(q)=\int(1+2q+3q^2+\ldots+kq^{k-1}+\ldots)dq[/tex]

[tex]F(q)=q+q^2+q^3+\ldots+q^k+\ldots[/tex]

Заметим, что в последнем выражении записана сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем, равными [tex]q[/tex]. Тогда, запишем:

[tex]F(q)=\dfrac{q}{1-q}[/tex]

Получилось довольно удобное выражение.

Остается продифференцировать функцию [tex]F(q)[/tex], чтобы вернуться к функции [tex]f(q)[/tex]:

[tex]f(q)=\left(\dfrac{q}{1-q} \right)'=\dfrac{q'\cdot(1-q)-q\cdot(1-q)'}{(1-q)^2} =\dfrac{1\cdot(1-q)-q\cdot(-1)}{(1-q)^2} =\dfrac{1}{(1-q)^2}[/tex]

Вернем к выражению для мат.ожидания и подставим полученное выражение для функции:

[tex]M(X)=p\cdot f(q)[/tex]

[tex]M(X)=p\cdot\dfrac{1}{(1-q)^2}[/tex]

Учитывая, что [tex]1-q=p[/tex]:

[tex]M(X)=p\cdot\dfrac{1}{p^2}[/tex]

[tex]\boxed{M(X)=\dfrac{1}{p}}[/tex]

Если подразумевается, что формула для мат.ожидания геометрически распределенной случайной величины известна, то, конечно, ее можно сразу использовать.

Остается подставим численное значение вероятности:

[tex]M(X)=\dfrac{1}{0.4} =2.5[/tex]

Ответ: 2.5