Ответ:

- 2 -нуль функции

Пошаговое объяснение:

Найти нули функции

[tex]y=\sqrt[6]{x^{4}+3x^{3} +8 } +arcsin^{2} (x^{2} +2x)[/tex]

Нули функции - это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Значит, чтобы найти нули функции, надо решить уравнение: y=0

[tex]\sqrt[6]{x^{4}+3x^{3} +8 } +arcsin^{2} (x^{2} +2x)=0[/tex]

Первое слагаемое есть число неотрицательное при всех допустимых значениях х ( корень четной степени есть число неотрицательное)

Второе слагаемое является квадратом , поэтому также при всех допустимых значениях х , является числом неотрицательным.

Тогда сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, если каждое слагаемое равно нулю.

То есть надо найти решение системы

[tex]\left \{\begin{array}{l} \sqrt[6]{x^{4} +3x^{3} +8} =0, \\ arcsin^{2}(x^{2} +2x) = 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x^{4} +3x^{3} +8 =0, \\ arcsin(x^{2} +2x) = 0\end{array} \right[/tex]

Решим второе уравнение системы

[tex]arcsin(x^{2} +2x)=0,[/tex]        где        [tex]-1\leq x^{2} +2x\leq 1[/tex]

Тогда получим

[tex]x^{2} +2x=0;\\x(x+2)=0;\\ \left [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = -2 \end{array} \right.[/tex]

Проверим какое из полученных значений является решением  первого уравнение системы, подставив  каждое  полученное значение х.

Если х =0, то      [tex]0^{4} +3\cdot0^{3} +8=0+0+8=8[/tex]

Так как [tex]8\neq 0[/tex] , то данное значение не является решением системы.

Если х =0, то      [tex](-2)^{4} +3\cdot(-2)^{3} +8=16+3\cdot (-8) +8 =24-24=0[/tex]

Тогда при х = - 2 и первое слагаемое , и второе равно 0  и данное значение является решением системы.

Значит, х= - 2 -нуль функции

#SPJ1