Verified answer

Ответ:

297.

Пошаговое объяснение:

Сначала определим, сколько всего прямоугольников в таблице. Занумеруем квадратики числами от одного до шести по горизонтали и вертикали (левый нижний квадратик будет иметь номер (1,1), правый нижний - (6,1), левый верхний - (1,6), правый верхний - (6,6)). Тогда каждый прямоугольник задается номерами квадратов, стоящих в углах прямоугольника. На самом деле достаточно знать номера квадратов, стоящих в левом нижнем и правом верхнем углах. Или просто указать, в каких пределах меняются первые и вторые индексы у квадратов, принадлежащих прямоугольнику.Поэтому прямоугольников столько же, сколькими способами мы можем выбрать числа i и j, а также k и n такие, что

[tex]1\le i\le j\le 6;\ 1\le k\le n\le 6.[/tex]

Если бы пределы были не от 1 до 6, а от 0 до 6, любой доминошник тут же бы дал ответ 28  отдельно для i и j (и k и n) (каждая доминошка задает пару чисел i и j). Нам же приходится думать. Например можно рассуждать так: если i=1, j может принимать любое из 6 значений, если i=2, j может принимать значения от 2 до 6 - то есть 5 значений. И так далее. Если i=6, j может быть только шестеркой (одно значение). Остается только просуммировать 6+5+4+3+2+1=21 (скажем, как арифметическую прогрессию). Тот же ответ для выбора k и n, а всего прямоугольников получается 21·21=441.

Далее определим. каково наибольшее возможное число прямоугольников, содержащих закрашенный квадратик. Вычтя из 441 это число, получим наименьшее возможное число прямоугольников, не содержащих закрашенный квадратик.

Пусть закрашенный квадратик занумерован парой (p,q). Для того, чтобы прямоугольник содержал его, необходимо и достаточно, чтобы его первые индексы удовлетворяли условию

[tex]1\le i\le p\le j\le 6,[/tex] а вторые условию [tex]1\le k\le q\le n\le 6.[/tex]

Для i мы получаем p разных значений, для j получаем (6-(p-1))=7-p разных значений, для k получаем q разных значений, для n получаем 7-q разных значений. Поэтому мы имеем

p(7-p)·q(7-q) прямоугольников, содержащих выделенный квадрат. Надо узнать, при каких p и  q это выражение принимает наибольшее значение. Решим вопрос о наибольшем значении для p(7-p), для

q(7-q) ответ будет аналогичным. Преобразуем:

[tex]p(7-p)=-p^2+7p=-\left(p-\frac{7}{2}\right)^2+\frac{49}{4};[/tex]

наибольшее значение будет при [tex]p=\frac{7}{2},[/tex] но поскольку p является целым числом, наибольшее значение будет при p=3 или при p=4 (на самом деле значения там совпадают). Это наибольшее число равно 3·4=12. Поэтому наибольшее число прямоугольников, содержащих выделенный квадрат, равно 12·12=144, а тогда наименьшее число прямоугольников, не содержащих выделенный квадрат, равно

                               441-144=297.

Кстати, вы заметили (хотя это и не имеет отношения к задаче), что 441 и 144 - числа-перевертыши?