Ответ:

72.

Пошаговое объяснение:

Дано:                       [tex]3^a+3^{b+c}-3^{b}+3^{d+e}-3^{d}=3^{10}.[/tex]

Если a<b и a<d, то можем написать так:

                    [tex]3^a(1+3^{b+c-a}-3^{b-a}+3^{d+e-a}-3^{d-a})=3^{10}.[/tex]

Скобка в левой части не делится на 3, поэтому этот случай можно исключить.

Аналогично исключаем случаи b<a и b<d; d<a и  d<b.

Также исключаем случай a=b=d, который приводит к неверному равенству  [tex]3^a(1+3^c-1+3^e-1)=3^{10}.[/tex]

Остаются случаи b=d<a; a=b<d; a=d<b.

Первый случай приводит к   [tex]3^b(3^{a-b}+3^c-1+3^e-1)=3^{10}[/tex] и поэтому отбрасывается.

Два последних случая абсолютно идентичны, поэтому достаточно рассмотреть один из них.

Пусть a=b<d;  [tex]3^a(1+3^c-1+3^{d+e-a}-3^{d-a})=3^{10}.[/tex]

Если c<d-a, получается неверное равенство

[tex]3^{a+c}(1+3^{d+e-a-c}-3^{d-a-c})=3^&{10}.[/tex]

Аналогично приходим к противоречию, если d-a<c.

Вывод: d=a+c⇒

[tex]3^{a+c}(1+3^e-1)=3^{10};\ 3^{a+c+e}=3^{10};\ a+c+e=10.[/tex] При этом b=a; d=a+c, причем все числа натуральные. Чтобы облегчить подсчет вариантов, сделаем замену a=m+1; c=n+1; e=k+1; получаем m+n+k=7, причем m, n и k - целые неотрицательные числа.  Для подсчета числа возможных вариантов можно или использовать знание комбинаторных методов (так называемые сочетания с повторениями; кто их знает, ответ пишет мгновенно), или произвести непосредственные нехитрые подсчеты: выбираем конкретное  m; смотрим, сколько для него подходит  значений n; k  ищется по остаточному принципу, чтобы m+n+k=7.

Если m=7, для n имеется единственное значение 0 (а тогда и k=0).

Если m=6, для n имеется две возможности: 0 и 1 (k соответственно равен 1 и 0).

Если m=5, для n имеется три возможности: 0, 1 и 2.

И так далее...

Если m=0, для n имеется 8 возможностей: 0, 1, 2,..., 7.

Суммируя, получаем всего 1+2+3+...+8=8·9/2 вариантов.

Вспомним, что сейчас мы подсчитали возможные варианты для одного из двух идентичных случаев. Поэтому всего будет 8·9=72 варианта.