Verified answer

Ответ:

1)  Вычислить повторный интеграл.

[tex]\bf \displaystyle \int\limits^1_0\, dx \int\limits^2_1\, (x^2+y^2)\, dy=\int\limits^1_0\, dx\, \Big(x^2\int\limitsy^2_1\, dy+\int \limits _1^2y^2\, dy\Big)=\\\\\\=\int\limits^1_0\, dx\, \Big(x^2\cdot y\, \Big|_1^2+\frac{y^3}{3}\, \Big|_1^2\Big)=\int\limits^1_0\, dx\, \Big(x^2\cdot (2-1)+\frac{1}{3}\cdot (8-1)\Big)=\\\\\\=\int\limits^1_0\, \Big(x^2+\frac{7}{3}\Big)\, dx=\Big(\frac{x^3}{3}+\frac{7}{3}\, x\Big)\Big|_0^1=\frac{1}{3}+\frac{7}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}[/tex]  

2)  Вычислить двойной интеграл по заданной области D .

     [tex]\bf \displaystyle D:\{\ y=0\ ,\ y=4-x^2\ \}[/tex]  

Точки пересечения графиков:   [tex]\bf 4-x^2=0\ ,\ \ x^2=4\ ,\ \ x=\pm 2[/tex]   .

Cмотри рисунок области ниже .

[tex]\bf \displaystyle \iint\limits_{D}\, xy\, dx\, dy=\int\limits_{-2}^2\, dx\int\limits_0^{4-x^2}\, xy\, dy=\int\limits_{-2}^2\, x\, dx\int\limits_0^{4-x^2}\, y\, dy=\\\\\\=\int\limits_{-2}^2\, x\, dx\, \Big(\frac{y^2}{2}\ \Big|_0^{4-x^2}\Big)=\int\limits_{-2}^2\, x\cdot \Big(\frac{1}{2}\cdot (4-x^2)^2\, \Big)\, dx=\frac{1}{2}\int\limits_{-2}^2\, x\cdot (4-x^2)^2\, dx=0[/tex]

Можно определить, что значение интеграла равно 0, не вычисляя его, так как подынтегральная функция  [tex]f(x)=x\, (4-x^2)^2[/tex]  нечётная , выполняется равенство  [tex]f(-x)=-x(4+(-x)^2)^2=-x\, (4+x^2)=-f(x)[/tex]  .   А определённый интеграл в симметричных пределах от нечётной функции равен 0 .

Но можно и вычислить интеграл:

[tex]\bf \displaystyle \frac{1}{2}\int\limits_{-2}^2\, x\cdot (4-x^2)^2\, dx=\frac{1}{2}\int\limits_{-2}^2\, \Big(16x-8x^3+x^5\Big)\, dx=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \Big(8x^2-2x^4+\frac{1}{6}\, x^6\Big)\Big|_{-2}^2=\Big(4x^2-x^4+\frac{1}{12}\, x^6\Big)\Big|_{-2}^2=\\\\\\=\Big(4\cdot 4-16+\frac{64}{12}\Big)-\Big(4\cdot 4-16+\frac{64}{12}\Big)=0[/tex]

3)   Вычислить двойной интеграл по заданной области D .

    [tex]\bf \displaystyle D:\{\ y=\frac{1}{x}\ ,\ x=1\ ,\ x=2\ \}[/tex]

Смотри рисунок области .

[tex]\bf \displaystyle \iint\limits_{D}\, x^2y\, dx\, dy=\int\limits^2_1\, x^2\, dx\int\limits_0^{\frac{1}{x}}\, y\, dy=\int\limits^2_1\, x^2\, dx\, \Big(\frac{y^2}{2}\, \Big|_0^{\frac{1}{x}}\Big)=\\\\\\=\int\limits^2_1x^2\, \Big(\frac{1}{2x^2}\ \Big)\, dx=\int\limits^2_1\, \frac{1}{2}\, dx=\frac{1}{2}\cdot x\Big|_1^2=\frac{1}{2}\cdot (2-1)=\dfrac{1}{2}[/tex]