Verified answer

Пояснення:

[tex]\displaystyle\\\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n(\frac{3n-2}{4n-3} )^{2n}.[/tex]

Щоб дослідити цей ряд на збіжність/розбіжність треба перевірити

умови виконнання радикального правила Коші:

[tex]\displaystyle\\\sum\limits_{n=1}^\infty |(-1)^n(\frac{3n-2}{4n-3} )^{2n})|=\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{3n-2}{4n-3} )^{2n}= \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{3n-2}{4n-3})^{2n} } =\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{3n-2}{4n-3})^{\frac{2n}{n} } } =\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{3n-2}{4n-3})^2=\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{n*(3-\frac{2}{n} )}{n*(4-\frac{3}{n}) } )^2=\\\\\\[/tex]

[tex]\displaystyle\\=\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{3-\frac{2}{n} }{4-\frac{3}{n} } )^2=(\frac{3-0}{4-0})^2 =(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16} < 1.\ \ \ \ \ \ \Rightarrow\\[/tex]

Цей ряд збігається, отже збігається абсолютно.

Відповідь: ряд збігається абсолютно.