Если я правильно понял условие задачи, вопрос в том, сколько существует 20-буквенных слов нужного типа. Первые десять мест занимают буквы A и B, по пять каждая, способов их там расставить ровно [tex]C_{10}^5=\dfrac{10!}{5!\cdot (10-5)!}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=4\cdot 9\cdot 7=2^2\cdot 3^2\cdot 7.[/tex] Смысл в том, что мы подсчитываем количество способов расставить 5 букв A на 10 местах (остальные 5 мест автоматически остаются для буквы B).
Столько же способов расставить буквы C и D, поэтому общее количество слов равно
В каждый натуральный делитель этого числа входит множителем некоторая степень числа 2 (наименьший показатель степени нулевой, наибольший четыре), некоторая степень числа 3 (показатель также от 0 до 4), а также некоторая степень числа 7 (показатель от нуля до двух). Поэтому натуральных делителей у этого числа ровно
[tex]5\cdot 5\cdot3=75.[/tex]
И вообще, если дано разложение некоторого числа на простые множители: [tex]n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\ldots \cdot p_m^{k_m},[/tex] то натуральных делителей у него ровно [tex](k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot\ldots\cdot (k_m+1).[/tex]
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
75
Пошаговое объяснение:
Если я правильно понял условие задачи, вопрос в том, сколько существует 20-буквенных слов нужного типа. Первые десять мест занимают буквы A и B, по пять каждая, способов их там расставить ровно [tex]C_{10}^5=\dfrac{10!}{5!\cdot (10-5)!}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=4\cdot 9\cdot 7=2^2\cdot 3^2\cdot 7.[/tex] Смысл в том, что мы подсчитываем количество способов расставить 5 букв A на 10 местах (остальные 5 мест автоматически остаются для буквы B).
Столько же способов расставить буквы C и D, поэтому общее количество слов равно
[tex](2^2\cdot 3^2\cdot 7)^2=2^4\cdot 3^4\cdot 7^2.[/tex]
В каждый натуральный делитель этого числа входит множителем некоторая степень числа 2 (наименьший показатель степени нулевой, наибольший четыре), некоторая степень числа 3 (показатель также от 0 до 4), а также некоторая степень числа 7 (показатель от нуля до двух). Поэтому натуральных делителей у этого числа ровно
[tex]5\cdot 5\cdot3=75.[/tex]
И вообще, если дано разложение некоторого числа на простые множители: [tex]n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\ldots \cdot p_m^{k_m},[/tex] то натуральных делителей у него ровно [tex](k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot\ldots\cdot (k_m+1).[/tex]