1ое уравнение преобразуем переносом 1 в левую часть к виду [tex](2xy-1)^2=5y^2-4x^2\;\;(1)[/tex].
Во 2ом уравнении перенесем в левую часть [tex]-y^2[/tex], а в правую [tex]2xy^2[/tex], после чего приведем к виду [tex]2x^2-y^2=y\cdot (2xy-1)\;\;(2)[/tex].
Домножив обе части (2) на 2, а затем сложив правую часть с левой частью (1) и левую часть с правой частью (1) соответственно, получим
2ое уравнение примет вид [tex]2x^2-2x^3=x^2-x\Rightarrow 2x^3-x^2-x=0\;\;\;\;\;(4)[/tex]
При [tex]x=0=y[/tex] получим подстановкой в 1ое уравнение 0=1 - значит это не решение. Тогда (4) равносильно [tex]2x^2-x-1=0\Rightarrow (x-1)(2x+1)=0[/tex]
Подстановкой в исходную систему убеждаемся, что и [tex]x=y=1[/tex] , и [tex]x=y=-\dfrac{1}{2}[/tex] - решения.
1.2) [tex]x=-y[/tex]
2ое уравнение примет вид [tex]2x^2-2x^3=x^2+x\Rightarrow 2x^3-x^2+x=0\;\;\;\;\;(5)[/tex]
Из (1.1) [tex]x\neq 0[/tex], поэтому (5) эквивалентно [tex]2x^2-x+1=0[/tex]
Дискриминант [tex]D=1-8 < 0[/tex] - а значит в этой ветке корней нет.
В этом случае единственным решением (левая часть неотрицательна, правая неположительна) может быть лишь [tex]x=y=0[/tex] - но, как уже было показано, это не решение.
Answers & Comments
Ответ:
[tex]x=y=1[/tex] , [tex]x=y=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Объяснение:
1ое уравнение преобразуем переносом 1 в левую часть к виду [tex](2xy-1)^2=5y^2-4x^2\;\;(1)[/tex].
Во 2ом уравнении перенесем в левую часть [tex]-y^2[/tex], а в правую [tex]2xy^2[/tex], после чего приведем к виду [tex]2x^2-y^2=y\cdot (2xy-1)\;\;(2)[/tex].
Домножив обе части (2) на 2, а затем сложив правую часть с левой частью (1) и левую часть с правой частью (1) соответственно, получим
[tex](2xy-1)^2+2\cdot (2xy-1)\cdot y=3y^2\\ ((2xy-1)+y)^2=4y^2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)[/tex]
Отсюда возможны 2 случая
1) [tex](2xy-1)+y=2y\Rightarrow 2xy-1=y[/tex]
Подставляя это в (1), получим
[tex]y^2=5y^2-4x^2\Rightarrow y^2=x^2[/tex]
1.1) [tex]x=y[/tex]
2ое уравнение примет вид [tex]2x^2-2x^3=x^2-x\Rightarrow 2x^3-x^2-x=0\;\;\;\;\;(4)[/tex]
При [tex]x=0=y[/tex] получим подстановкой в 1ое уравнение 0=1 - значит это не решение.
Тогда (4) равносильно [tex]2x^2-x-1=0\Rightarrow (x-1)(2x+1)=0[/tex]
Подстановкой в исходную систему убеждаемся, что и [tex]x=y=1[/tex] , и [tex]x=y=-\dfrac{1}{2}[/tex] - решения.
1.2) [tex]x=-y[/tex]
2ое уравнение примет вид [tex]2x^2-2x^3=x^2+x\Rightarrow 2x^3-x^2+x=0\;\;\;\;\;(5)[/tex]
Из (1.1) [tex]x\neq 0[/tex], поэтому (5) эквивалентно [tex]2x^2-x+1=0[/tex]
Дискриминант [tex]D=1-8 < 0[/tex] - а значит в этой ветке корней нет.
2) [tex](2xy-1)+y=-2y\Rightarrow (2xy-1)=-3y[/tex]
Подставляя это в (1), получим
[tex]9y^2=5y^2-4x^2\Rightarrow y^2=-x^2[/tex]
В этом случае единственным решением (левая часть неотрицательна, правая неположительна) может быть лишь [tex]x=y=0[/tex] - но, как уже было показано, это не решение.