Алгоритм решения:

1) Найти производную функции

2) Приравнять производную к 0 и найти точку(-и) перегиба

3) Найти, какие из точек попадают в указанный промежуток

4) Найти значение функции(не производной!) на краях промежутка и в точке(-ах), попадающей(-их) в промежуток.

1) Ищем производную:

Чтобы найти производную нам нужна данная формула:

[tex]\displaystyle\bigg(\frac{u}{v} \bigg)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]

[tex]\displaystyle f(x)=\frac{x^2-8x}{x+1} \\\\f'(x)=\frac{(x^2-8x)'(x+1)-(x^2-8x)(x+1)'}{(x+1)^2} =\frac{(2x-8)(x+1)-(x^2-8x)\times1}{(x+1)^2} =\\\\=\frac{2x^2+2x-8x-8-x^2+8x}{(x+1)^2} =\frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}[/tex]

2) Приравниваем производную к 0:

[tex]\displaystyle\frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2} =0\bigg|\times(x+1)^2\neq0= > x\neq\pm1\\\\x^2+2x-8=0\\[/tex]

По теореме Виета:

[tex]x_1+x_2=-2\\x_1\times x_2=-8\\= > x_1=-4;x_2=2[/tex]

3) Находим, какие точки попадают в промежуток:

Указанный промежуток [-5; -2], из найденных точек только x = -4 в него попадает

4) Ищем значения функции на краях промежутка и в найденной точке:

[tex]\displaystyle f(-5)=\frac{(-5)^2-8\times(-5)}{-5+1} =\frac{25+40}{-4} =-16,25\\\\f(-4)=\frac{(-4)^2-8\times(-4)}{-4+1} =\frac{16+32}{-3} =-16\\\\f(-2)=\frac{(-2)^2-8\times(-2)}{-2+1}=\frac{4+16}{-1} =-20\\\\\\= > y_{min}=-20;\:y_{max}=-16[/tex]

Ответ: [tex]y_{min}=-20;\:y_{max}=-16[/tex]