Verified answer

Ответ:

[tex]a_{100}= 14653 \\ [/tex]

Пошаговое объяснение:

Здесь проще найти разность между любыми двумя соседними членами прогрессии

[tex]a_{n } = a_{n - 1} + 3n - 3 - 3 \\ a_{n } = a_{n - 1} + 3(n - 1) - 3\\ k = n - 1 \: \: { < = > } \: \:n = k + 1 \\ a_{k + 1} = a_{k} + 3k - 3 \\ a_{k + 1} - a_{k} = 3k - 3 \\ [/tex]

т.е. имеем, что разность между а2 и а1 равна

[tex] \small \: a_{1 + 1} - a_{1} = 3 \cdot1 - 3 \: < = > \: a_{2} - a_{1} =0 \\\small \: a_{2+ 1} - a_{2} = 3 \cdot2 - 3 \: \: { < = >} \: \: a_{3} - a_{2} = 3 \\... \\ \small \: a_{i + 1} - a_{i} = 3 \cdot{i} - 3 \: < = > \:a_{i + 1} - a_{i} = 3(i - 1) \\ ... \\ \small \: a_{99 + 1} - a_{99} = 3 \cdot99 - 3 \: \: { < = >} \: \: a_{100} - a_{99} = 294[/tex]

Как мы видим, разность каждых 2 последующих соседних членов составляет арифметическую прогрессию (обозначим ее буквой b, чтоб не путаться) где

[tex]b_1=0; \: b_2=3; ... \: b_i=3i-3[/tex]

а каждый последующий член исходной прогрессии равен

[tex]a_{i+1}=a_{i} +b_i[/tex]

В результате мы получаем, что i-ый член исходной прогрессии равен первому члену плюс сумма арифметической прогрессии по i-ый член.

[tex]a_{i+1} = a_1+S_i(b)[/tex]

Соответственно, выражаем сотый член исходной прогрессии

[tex]a_{100} =a_{99 + 1} =a_{1} + S_{99}(b) \\ S_{99}(b) = \frac{b_{1} + b_{99 } }{2} \times 99 \\ a_1=100; \: b_1=0; \: b_{99}= 3{ \cdot}99{ - 3} = 294\\\small S_{99}(b) = \frac{0+ 294 }{2} \times 99 = 147 \times 99 = 14553 \\a_{100} =a_{1} + S_{99}(b) =100 + 14553 \\ a_{100}= 14653 \\ [/tex]