Відповідь:Примеры не буду переписать Я еще вчера решил

а)  f '(x) =(7x² -56x +8) ' =(7x²) ' -(56 x)' +(8) ' =7*(x²) ' -56(x)' +0 =14x -56 =14(x-4) ;

f '(4) =14(4 -4) = 0.

б)  f '(x) =(√x -16x) ' =(x^(1/2) -16x)'= (x^(1/2))' -(16x)' =1/2*x^(-1/2) -16(x)' =1/2*1/(x)^(1/2)  -16

=1/(2√x) -16 ;  f '(1/4) =1/(2√(1/4)) -16 = 1 -16 = -15 .

в)  f '(x) =  ((4x-7) ' *(x² +4) - (4x -7)*(x² +4) ' ) /(x² +4)²  = ( 4(x² +4) - (4x -7)*2x)/(x² +4)² =

= (-4x² +14x +16)/(x² +4)²  ;  f '(0) =( -4*0² +14*0 +16)/(0² +4)² =16/16 =1.

г)  f'(x) = (cosx+ctqx) ' = (cosx) ' +(ctqx) ' =  - sinx -1/sin²x  ;  f'(π/2) = -sin(π/2) - 1/sin²(π/2) = -1 -1/1² =-1 -1 = -2.

д) f '(x) =(sin2x) ' = cos2x*(2x) ' = cos2x*2*(x) ' =cos2x*2*1 =2cos2x  ;

f '(π/2) =2cos2*π/2 =2cosπ =2*(-1) = -2 .

2) f '( x) = (1/4*x^4 -1/2*x² +5)  = 1/4*4*x³ -1/2*2*x +0 =x³ -x =x(x² -1) =x(x-1)(x+1) .

f '( x) =(x+1)x(x-1).

f'(x)       -                      +                              -                      +

---------------   - 1  ----------------------   0  ------------------   1 ----------

f(x)             ↓ min                      ↑     max             ↓     min        ↑

Функция возрастает(↑)  x∈[-1 ;0] ; убывает(↓)  x∈ [0 ; 1] ⇒ x= 0 точка максимума . f ( 0) = 1/4*(0^4) -1/2*(0)² +5 =5.

3) f(x) =x +4/x²    ; min f(x)  -->

f'(x) =(x +4/x² ) ' =(x )' +(4*x^(-2))' =1 + 4 *(-2) *x^(-3) =1 -8/x³ =(x³ -8)/x³ =(x-2)(x² +2x+4)/x³ .

x = 0    ∉  ООФ .  f'(x) = 0 ⇒x =2 ;  Если   x<2  , то  f'(x)<0  ,а если   x>2 то  f'(x)>0

(функция убывает потом возрастает )⇒x=2 точка минимума .

f(2) =2 +4/2² =2 +1 =3.

4)  f'(x) = (-1/3*x³ +4x² -15x) ' = -x² +8x -15 = -(x² -8x+15) = -(x+5)(x+3) ;

функция возрастает если   f'(x) ≥ 0 :

- (x+5)(x+3)  ≥ 0 ⇔ (x+5)(x+3) ≤ 0 ⇒x∈[ -5 ; -3] .

Длина конечного интервала = (-3) -(-5) =2 .

5)   f(x) = 5x² -3x+2    ; xo =2 .

угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой xo :

k =tqα =f '(xo) ;

f'(x) =(5x² -3x+2) ' =10x -3 ;

k = f '(2) =10*2 -3 =17.

***************************************************************************

3) f(x) =(x² +3x)/(1 -x)    ; min f(x)  -->

f'(x) =((x² +3x)/(1 -x))' =((2x +3)*(1-x) - (-1)(x²+3x))/(1-x)²  = -(x²-2x -3)/(x-1)²  = -(x+1)(x-3)/(x-1)² .

x = 1    ∉  ООФ .  f'(x) = 0 ⇒x = -1 ,  x=3  ;  Если   x< -1  , то  f'(x)<0  ,а если   x> -1 то  f'(x)>0

(функция убывает потом возрастает )⇒x= -1 точка минимума .

f(-1) =((-1)² +3*(-1))/(1-(-1)) = -1.

4) f(x) =x^4 -4x³ -20x² ;

f'(x) = (x^4 -4x³ -20x²) ' = 4x³ -4*3x² -20*2x=4x(x² -3x -10)=4x(x+2)(x-5);

функция возрастает если   f'(x) ≥ 0 :

4x (x+2)(x- 5)  ≥ 0 ⇔ (x+2)*x*(x-5) ≥ 0 ⇒x∈[ -2 ; 0] U [5 ;∞).

Длина конечного интервала = (0) -(-2) =2 .

5)   f(x) = 3x -x³    ; xo = -2 .

угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой xo :

k =tqα =f '(xo) ;

f'(x) =(3x -x³) ' =(3x)' -(x³) ' =3(x)'  - 3x² =3*1 -3x²  =3(1-x²) ;

k = f '(-2)  =3(1 - (-2)²) = 3(1 - 4)  = 3*(-3) = -9.

Пояснення: