Ответ:

Доказано, что AD = C₁F.

Объяснение:

Требуется доказать, AD = C₁F.

Дано: ΔАВС = равнобедренный;

АВ = ВС;

С₁ - середина АВ; D - середина CC₁;

F ∈ BC; BF : FC=3 : 1.

Доказать: AD = C₁F.

Доказательство:

Проведем С₁К || AC; FD ∩ AB = M.

1. Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

BF : FC = 3 : 1.

Пусть FC = a, тогда BF = 3a.

⇒ AB = BC = 4a.

AC₁ = C₁B (условие)

С₁К || AC  (построение)

• Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

⇒ C₁К - средняя линия ΔАВС.

• Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей.

⇒ С₁K = 0,5 AC

Также отметим:

АC₁ = C₁В = ВК = КС = 2а.

FC = a  ⇒ FK = КС - FC = 2a - а = а

2. Рассмотрим ΔСКС₁.

KF = FC (п.1)

С₁D = DC (условие)

⇒ DF - средняя линия ΔСКС₁.

DF || С₁К.

3. Рассмотрим ΔАС₁С.

С₁D = DC (условие)

DF || С₁К (п.2)

С₁К || AC  (построение)

⇒ DF || АС или DМ || АС

⇒ MD - средняя линия ΔАС₁С.

MD = 0,5 AC.

Также отметим:

АМ = МС₁ = а.

4. Рассмотрим ΔAMD и ΔС₁КF.

MD = C₁K = 0,5 AC.

AM = KF = a.

∠BKC₁ = ∠C (соответственные при C₁К || AC и секущей ВС)

∠C₁MF = ∠A (соответственные при MF || AC и секущей AВ)

• Углы при основании равнобедренного равны.

⇒ ∠А = ∠С.

• Если правые части равенств равны, то равны и левые.

⇒ ∠BKC₁  = ∠C₁MF

• Смежные углы в сумме равны 180°.

∠АМD = 180° - ∠C₁MF (смежные)

∠С₁KF = 180° - ∠BKC₁ (смежные)

⇒ ∠АМD = ∠С₁KF

ΔAMD = ΔС₁КF (по двум сторонам и углу между ними, 1 признак)

• В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

⇒ AD = C₁F.

#SPJ1