В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD=BC+AD

November 2022 1 35 Report

В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD=BC+AD.

Опишем окружность около △AEB.

1) Окружность вторично пересекает CD в точке F.

∠B =180-∠D (ABCD впиcанный) =∠DAF+∠DFA

∠DFA=∠ABE=∠B/2 (внешний угол вписанного AFEB)

=> ∠DAF=∠B/2 => △ADF -р/б, AD=DF

∠A =180-∠C =∠BFC+∠CBF

∠BFC=∠BFE=∠BAE=∠A/2 (вписанные углы)

=> ∠CBF=∠A/2 => △FCB -р/б, CB=CF

AD+CB =DF+CF =CD

2) CD является касательной

∠AED =∠ABE =∠B/2 => ∠DAE =∠B/2 => △ADE -р/б и т.д.