Ответ:

180.

Объяснение:

Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке E (благодаря тому, что углы A и D по условию острые, точка E их пересечения будет расположена так, как на чертеже). Обозначив середину стороны BC буквой F и учитывая, что биссектрисы пересекаются в одной точке, получаем, что AF, DF, EF - куски биссектрис треугольника AED до их точки пересечения. В треугольнике BEC биссектриса EF является одновременно медианой, поэтому этот треугольник равнобедренный, BE=CE, а EF одновременно является и высотой.

Для дальнейших рассуждений нам понадобится такой факт (любой желающий без проблем его докажет): один из углов между двумя биссектрисами треугольника равен 90°+ половина третьего угла.

Поэтому, если углы A и D равны [tex]\alpha[/tex]  и  [tex]\beta[/tex] соответственно, то

     [tex]\angle EFD=90^{\circ}+\dfrac{\alpha}{2}\Rightarrow \angle CFD=\dfrac{\alpha}{2};\ \angle EFA=90^{\circ}+\dfrac{\beta}{2}\Rightarrow \angle BFA=\dfrac{\beta}{2}.[/tex]  

Вывод: треугольники ABF, FCD и AFD подобны. Обозначим BF=FC=x; AF=y; FD=z. Из подобия первого треугольника и второго получаем

                                     [tex]\dfrac{2}{x}=\dfrac{x}{3}\Rightarrow x^2=6;\ x=\sqrt{6}.[/tex]

Из подобия первого и третьего треугольников получаем

                                            [tex]\dfrac{2}{y}=\dfrac{y}{7}\Rightarrow y=\sqrt{14}.[/tex]

Из подобия второго и третьего треугольников получаем

                                             [tex]\dfrac{3}{z}=\dfrac{z}{7}\Rightarrow z=\sqrt{21}.[/tex]

Для упрощения выкладок рассмотрим еще один треугольник, подобный этим трем  - со сторонами [tex]\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{7}.[/tex] Найдем по теореме косинусов угол против стороны [tex]\sqrt{7}:[/tex]

              [tex]7=2+3-2\sqrt{2}\sqrt{3}\cos \varphi;\ \cos \varphi=-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\Rightarrow \sin\varphi=\sqrt{\dfrac{5}{6}};[/tex]

поэтому его площадь равна

                                [tex]s_0=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.[/tex]

Наши три треугольника, подобных этому с коэффициентами подобия [tex]\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{7}[/tex] , будут иметь площади, получаемые из найденной площади домножением на квадрат коэффициента подобия, а поскольку исходный четырехугольник состоит из этих трех треугольников, его площадь будет равна

                [tex]S=(2+3+7)\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{2}=6\sqrt{5}\Rightarrow S^2=36\cdot 5=180.[/tex]