Для нахождения значения [tex]f(10)[/tex] с использованием интерполяционного полинома Лагранжа, нужно использовать предоставленные точки данных и построить полином Лагранжа, проходящий через эти точки. Полином Лагранжа является полиномом степени не выше [tex](n-1)[/tex], где [tex]n[/tex] - количество точек данных.
где [tex]L_i(x)[/tex] — базисный полином Лагранжа, заданный следующим образом: [tex]L_i(x)=\displaystyle \prod^{n-1}_{j=0,j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}[/tex]
Подставляя данные точки в полином Лагранжа, получаем:
reygen
Также решил, только со второго раза, числа довольно большие, без калькулятора тут не просто, вроде страшное название "полином Лагранжа", но задачка за 9 класс...
С помощью многочлена Лагранжа решать задачу слишком скучно, любой желающий может ознакомиться с этим методом самостоятельно. Поступим лучше так. По условию
Answers & Comments
Для нахождения значения [tex]f(10)[/tex] с использованием интерполяционного полинома Лагранжа, нужно использовать предоставленные точки данных и построить полином Лагранжа, проходящий через эти точки. Полином Лагранжа является полиномом степени не выше [tex](n-1)[/tex], где [tex]n[/tex] - количество точек данных.
В данном случае у нас есть 5 точек данных:
[tex](-2, -4),\,(0, 2), \,(1, 2),\, (2, 8), \,(3, 26)[/tex]
Полином Лагранжа может быть записан следующим образом:
[tex]f(x)=\displaystyle \sum^{n-1}_{i=0}f(x_i)\cdot L_i(x)[/tex]
где [tex]L_i(x)[/tex] — базисный полином Лагранжа, заданный следующим образом: [tex]L_i(x)=\displaystyle \prod^{n-1}_{j=0,j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}[/tex]
Подставляя данные точки в полином Лагранжа, получаем:
[tex]f(x)=-4\cdot \frac{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)}{(-2-0)(-2-1)(-2-2)(-2-3)}+2\cdot \frac{(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)}{(0+2)(0-1)(0-2)(0-3)}+2\cdot \\ \\ \frac{(x+2)(x-0)(x-2)(x-3)}{(1+2)(1-0)(1-2)(1-3)}+8\cdot \frac{(x+2)(x-0)(x-1)(x-3)}{(2+2)(2-0)(2-1)(2-3)}+26\cdot \frac{(x+2)(x-0)(x-1)(x-2)}{(3+2)(3-0)(3-1)(3-2)}[/tex]
Находим теперь [tex]f(10)[/tex], подставляя [tex]x=10[/tex]
[tex]f(10)=-4\cdot \frac{(10-0)(10-1)(10-2)(10-3)}{(-2-0)(-2-1)(-2-2)(-2-3)}+2\cdot \frac{(10+2)(10-1)(10-2)(10-3)}{(0+2)(0-1)(0-2)(0-3)}+2\cdot \\ \\ \frac{(10+2)(10-0)(10-2)(10-3)}{(1+2)(1-0)(1-2)(1-3)}+8\cdot \frac{(10+2)(10-0)(10-1)(10-3)}{(2+2)(2-0)(2-1)(2-3)}+26\cdot \frac{(10+2)(10-0)(10-1)(10-2)}{(3+2)(3-0)(3-1)(3-2)}=\\ =992[/tex]
Verified answer
Ответ:
992.
Объяснение:
С помощью многочлена Лагранжа решать задачу слишком скучно, любой желающий может ознакомиться с этим методом самостоятельно. Поступим лучше так. По условию
f(0)=f(1)=2; f(-2)=-4; f(2)=8; f(3)=26.
Пусть g(x)=f(x)-2⇒ g(0)=9(1)=0; g(-2)=-6; g(2)=6; g(3)=24.
У многочлена g(x) знаем корни 0 и 1⇒ g(x)=x(x-1)h(x), причем степень h(x) не выше 2.
g(2)=6=2h(2)⇒h(2)=3; g(-2)=-6=6h(-2)⇒h(-2)=-1; g(3)=24=6h(3)⇒h(3)=4.
Продолжим упрощение. Пусть k(x)=h(x)-3⇒k(2)=0; k(-2)=-4; k(3)=1.
У многочлена k(x) знаем корень 2⇒ k(x)=(x-2)m(x), причем степень m(x) не выше 1.
k(-2)=-4=-4m(-2)⇒m(-2)=1; k(3)=1=m(3)⇒m(3)=1. Итак, m(-2)=m(3)=1⇒m(x)=1; k(x)=x-2; h(x)=x+1; g(x)=x(x-1)(x+1)=x³-x; f(x)=x³-x+2.