Verified answer

г)

[tex]\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}[/tex].

Методом неопределённых коэффициентов разбиваем дробь на слагаемые:

[tex]\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{1/2}{k}-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1/2}{k+2}[/tex].

Тогда

[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2}[/tex].

Во второй и третьей суммах переобозначаем знаменатель:

[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k} + \frac{1}{2}\sum_{k=3}^{n+2}\frac{1}{k}[/tex].

В пределе [tex]n\to \infty[/tex] получим

[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\bigg(1+\frac{1}{2}\bigg) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k} - \sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k} + \frac{1}{2}\sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k} = \frac{1}{4}[/tex].

д)

[tex]\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k!} = \sum_{k=2}^\infty\bigg(\frac{k}{k!} - \frac{1}{k!}\bigg) = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-1)!} - \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k!}[/tex].

Переобозначаем знаменатель в первой сумме:

[tex]\displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-1)!} - \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} - \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} = 1 + \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} - \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} = 1[/tex].