Verified answer

Ответ:

[tex]\displaystyle \int (4x+7)\cos3x\, dx=\dfrac{4x+7}{3}\sin3x+ \dfrac{4}{9}\cos3x+C[/tex]

Решение:

Воспользуемся методом интегрирования по частям:

[tex]\displaystyle \int (4x+7)\cos3x\, dx=[/tex]

[tex]=\left < \begin{array}{ccc} u=4x+7 \Rightarrow du=(4x+7)'\,dx=4\,dx\\dv=\cos3x\, dx\Rightarrow v=\int\cos3x\, dx=\dfrac{1}{3}\sin3x \end{array}\right > =[/tex]

[tex]\displaystyle =(4x+7)\cdot \dfrac{1}{3}\sin3x- \int\frac{1}{3} \sin3x\cdot 4\,dx=\dfrac{4x+7}{3}\sin3x- \frac{4}{3}\int \sin3x\,dx=[/tex]

[tex]=\dfrac{4x+7}{3}\sin3x- \dfrac{4}{3}\cdot \left(-\dfrac{1}{3} \cos3x\right)+C=\boxed{\dfrac{4x+7}{3}\sin3x+ \dfrac{4}{9}\cos3x+C}[/tex]

Элементы теории:

Формула интегрирования по частям:

[tex]\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du[/tex]

Интегралы тригонометрических функций:

[tex]\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;\ \displaystyle \int \sin kx\,dx=-\dfrac{1}{k} \cos kx+C[/tex]

[tex]\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;\ \displaystyle \int \cos kx\,dx=\dfrac{1}{k} \sin kx+C[/tex]