Первое способ

Обратите внимание, что [tex]$(-1)^n$[/tex] равно [tex]$1$[/tex] для четных [tex]$n$[/tex] и [tex]$-1$[/tex] для нечетных [tex]$n$[/tex]. Значит, [tex]$1 + (-1)^n$[/tex] равно [tex]$2$[/tex] для четных [tex]$n$[/tex] и [tex]$1$[/tex] для нечетных [tex]$n$[/tex]. Следовательно, если [tex]$a_n = 1 + (-1)^n$[/tex], то [tex]$a_{2n} = 2$[/tex] и [tex]$a_{2n+1} = 0$[/tex]. Поскольку подпоследовательности имеют разные пределы ([tex]$\lim a_{2n} = 2$[/tex] и [tex]$\lim a_{2n+1} = 0$[/tex]), предел [tex]$ \lim a_n$[/tex] не существует

Второй способ

Поскольку последовательность принимает только два значения [tex]$0$[/tex] и [tex]$2$[/tex], можно заметить, что любое значение, кроме этих двух, не может быть пределом. Предполагая [tex]$l=0$[/tex] и беря [tex]$\varepsilon < 2$[/tex], мы видим, что предел не может существовать, так как [tex]$|x_n-x_{n+1}|=2 > \varepsilon$[/tex]. Аналогично для [tex]$l=2$[/tex]

Третий способ

[tex]$(-1)^n=e^{i\pi n}=\cos(n\pi)+i\sin(n\pi)$[/tex]

Можно видеть, что пределы [tex]$\lim_{n\to\infty} \cos(n\pi)$[/tex] и [tex]$\lim_{n\to\infty}i\sin(n\pi)$[/tex] принимают разные значения, а значит предел от нашей последовательности не существует

Четвёртый способ

Давайте от последовательности уйдём к функциям, то есть немного расширим наши возможности. Предполагая, что мы хотим работать с действительными числами, мы можем сказать, что область определения функции — это множество

[tex]$\left\{x\in\mathbb{Q}:x=\frac{r}{s}, s > 0, \text{$s$ odd}\right\}$[/tex]

Это довольно большое множество, и оно содержит все натуральные числа; однако

[tex]$\lim_{n\to\infty}(-1)^{2n}=1,\qquad\lim_{n\to\infty}(-1)^{2n+1}=-1,$[/tex]

Видим, что получаем два разных предела, при чётных [tex]n[/tex] и нечётных, а значит предела не существует