Ответ:

[tex]|3x+1|+2+\dfrac{3}{|3x+1|-2}\leq \dfrac{1}{|3x+1|+2}[/tex]

ОДЗ:  знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому

[tex]\left\{\begin{array}{l}|3x+1|-2\ne 0\\|3x+1|+2\ne 0\end{array}\right[/tex]

Так как модуль любого выражения может принимать только неотрицательные значения, то второе неравенство   [tex]|3x+1|+2\ne 0[/tex] выполняется при любых значениях  х ,   [tex]|3x+1|+2\geq 2[/tex]  .

Остаётся   [tex]|3x+1|\ne 2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 3x+1\ne \pm 2\ \ \Rightarrow \ \ x\ne \dfrac{1}{3}\ ,\ \ x\ne -1[/tex]  .

Теперь сделаем замену:   [tex]t=|3x+1|\geq 0[/tex]  . Тогда неравенство примет вид

[tex]t+2+\dfrac{3}{t-2}\leq \dfrac{1}{t+2}\ \ ,\ \ \ \ t+2+\dfrac{3}{t-2}-\dfrac{1}{t+2}\leq 0\ \ ,\\\\\\\dfrac{(t+2)(t-2)(t+2)+3(t+2)-(t-2)}{(t-2)(t+2)}\leq 0\ \ ,\\\\\\\dfrac{t^3+2t^2-4t-8+2t+8}{(t-2)(t+2)}\leq 0\ \ ,\ \ \dfrac{t^3+2t^2-2t}{(t-2)(t+2)}\leq 0\ \ \ ,\ \dfrac{t\, (t^2+2t-2)}{(t-2)(t+2)}\leq 0[/tex]

Разложим квадратный трёхчлен на множители, для этого найдём его корни .

[tex]t^2+2t-2=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=2^2+4\cdot 2=12\ \ ,\\\\t_1=\dfrac{-2-2\sqrt3}{2}=-1-\sqrt3\approx -2,7 < 0\ \ ,\ \ \ t_2=-1+\sqrt3\approx 0,7[/tex]

[tex]\dfrac{t\cdot (t+1+\sqrt3)(t+1-\sqrt3)}{(t-2)(t+2)}\leq 0[/tex]

Решим неравенство методом интервалов.

Знаки:    [tex]---[-2,7]+++(-2)---[\, 0\, ]+++[\, 0,7]---(\, 2\, )+++[/tex]

Выбираем промежутки со знаком меньше .

[tex]t\in (-\infty ;-1-\sqrt3\ ]\cup (-2\, ;\, 0\, ]\cup [\ -1+\sqrt3\, ;\ 2\ )[/tex]

Учитывая, что  [tex]t\geq 0[/tex] , получим   [tex]t\in \{0\}\cup [\ -1+\sqrt3\ ;\ 2\ )[/tex]  .

Рассмотрим два случая.

[tex]1)\ \ t=0\ \ \Rightarrow \ \ \ |3x+1|=0\ ,\ \ 3x+1=0\ ,\ 3x=-1\ ,\ \ x=-\dfrac{1}{3}\\\\2)\ \ -1+\sqrt3\leq t < 2\ \ \ \Rightarrow \ \ \left\{\begin{array}{l}|3x+1| < 2\\|3x+1|\geq -1+\sqrt3\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}-2 < 3x+1 < 2\\3x+1\geq -1+\sqrt3\ \ ili\ \ 3x+1\leq 1-\sqrt3\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}-3 < 3x < 1\\3x\geq -2+\sqrt3\ \ ili\ \ 3x\leq -\sqrt3\end{array}\right[/tex]

[tex]\left\{\begin{array}{l}-1 < x < \dfrac{1}{3}\\x\geq \dfrac{-2+\sqrt3}{3}\ \ ili\ \ x\leq -\dfrac{\sqrt3}{3}\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \Big(-1\ ;\ \dfrac{1}{3}\Big)\\\\\\\dfrac{-2+\sqrt3}{3}\approx 0,090\ \ ,\ \ \ -\dfrac{\sqrt3}{3}\approx 0,58[/tex]

[tex]Otvet:\ x\in \Big(-1\ ;\ \dfrac{1}{3}\Big)\ .[/tex]