Verified answer

Ответ:

4788.

Объяснение:

[tex][\sqrt{1}]=[1]=1;[/tex] поскольку 2 и 3 меньше 4, [tex]\sqrt{2}[/tex] и [tex]\sqrt{3}[/tex] меньше \sqrt{4}=2, поэтому [tex][\sqrt{2}]=1;\ [\sqrt{3}]=1.[/tex] Итак, первые 3 слагаемые равны 1.

Точно так же доказываем, что [tex][\sqrt{4}]=[\sqrt{5}]=[\sqrt{6}]=[\sqrt{7}]=[\sqrt{8}]=2.[/tex] Тут пять слагаемых.

В общем случае целая часть равна k для чисел

         [tex]\sqrt{k^2},\ \sqrt{k^2+1},\ \sqrt{k^2+2},\ldots ,\ \sqrt{(k+1)^2-1}=\sqrt{k^2+2k}.[/tex]

Тут 2k+1 слагаемых.

Исследуемую сумму разобъем на две скобки -

на сумму от [tex][\sqrt{1}]=1[/tex] до [tex][\sqrt{19^2-1}=[\sqrt{361-1}]=[\sqrt{360}]=18[/tex]

и от [tex][\sqrt{19^2}]=[\sqrt{361}]=19[/tex] до [tex][\sqrt{381}]=19.[/tex]

Первая скобка имеет вид:

[tex]3\cdot 1+5\cdot 2+\ldots+(2k+1)\cdot k+\ldots +(2\cdot 18+1)\cdot 18.[/tex]

Выведем сначала общую формулу для вычисления подобных сумм:

[tex]\sum\limits_{k=1}^n(2k+1)\cdot k=\sum\limits_{k=1}^n(2k^2+k)=2\sum\limits_{k=1}^nk^2+\sum\limits_{k=1}^n k=2\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{n(n+1)}{2}.[/tex]

Поэтому

           [tex]\sum\limits_{k=1}^n(2k+1)\cdot k=n(n+1)\cdot\dfrac{4n+2+3}{6}=\dfrac{n(n+1)(4n+5)}{6}.[/tex]

Следовательно

                      [tex]\sum\limits_{k=1}^{18}(2k+1)\cdot k=\dfrac{18\cdot 19\cdot 77}{6}=3\cdot 19\cdot 77=4389.[/tex]

Во второй скобке все слагаемые равны 19, причем их там 21 штука, поэтому вторая скобка равна 399.

Осталось сложить получившиеся числа: 4389+399=4788.

Замечание. Мы воспользовались формулами для суммы первых n натуральных чисел и суммы квадратов первых n натуральных чисел:

                     [tex]\sum\limits_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}{2};\ \ \ \ \ \ \sum\limits_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.[/tex]