Четырехугольник ABCD вписан в окружность. АВ = 6 см, ВС = BD=8 см, BD

July 2022 1 53 Report

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. АВ = 6 см, ВС = BD=8 см, BD - биссектриса угла АВС. Найти диагональ АС.

Answers & Comments

nelle987

Verified answer

Если BD — биссектриса угла ∠ABC, т.е. углы ∠ABD и ∠DBC равны, то равны хорды AD и DC, на которые опираются эти углы.

Обозначим ∠ABD = ∠DBC = α, AD = CD = a. Записываем выражения по теореме косинусов для треугольников ΔBCD и ΔABD:
$\begin{array}{cl}
\triangle BCD:&CD^2=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cos\angle DBC\\
& a^2=8^2+8^2-2\cdot 8^2\cos\alpha\\
\triangle ABD:&AD^2=AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cos\angle ABD\\
& a^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cos\alpha
\end{array}$

Приравниваем выражения для $a^2$ :
$8^2+8^2-2\cdot 8^2\cos\alpha=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cos\alpha\\
2\cdot 8\cdot (8-6)\cos\alpha=8^2-6^2\\
\cos\alpha=\dfrac{6+8}{2\cdot8}=\dfrac78$

Тогда
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\dfrac{49}{64}-1=\dfrac{17}{32}$

Длину AC находим по теореме косинусов для треугольника ABC.
$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle ABC\\=8^2+6^2-2\cdot8\cdot6\cos2\alpha=49$

AC = 7

3 votes Thanks 5

Удачник66 Я всегда удивляюсь, как у людей хватает воображения, чтобы решать подобные задачи. Начать хотя бы с того, что в школе задач про биссектрисы вообще почти нет. И как надо вывернуть мозги, чтобы в задаче про 4-угольник вдруг вспомнить про хорду?

nabludatel00 Глянул, что решили, и забросил.... Но попросили решить без тригонометрии. Если кому интересно - вот здесь. https://znanija.com/task/27273995

Удачник66 Очень жду ответа от Nelle, может она объяснит, как додумалась до такого решения?

nelle987 Я обычно стараюсь строить рисунки по условию (тут, например, всё в масштабе, но углы верные). Так как по утрам не очень хочется думать, расчехляю пушку и теоремами косинусов/синусов по воробьям, даже если они и не нужны, так хоть рисунок правдивый будет. А потом, раз уж угол найден, что ж ему, пропадать, что ли.

nabludatel00 :)

Удачник66 Жаль, что кто-то удалил второе решение, там без тригонометрии было, как раз для 7 класса.

Удачник66 А я вот совсем не умею плоскую геометрию решать. Со стереометрией почему-то легче.

Answers & Comments

Verified answer

2 4 1 64a86eabc0ec2

tex]...

tochka a lezhit na storone vs treugolnika avs tochka s na storone av izvest

abcdabcd pryamaya chetyrehugolnaya prizma obem kotoroj raven 720 osnovanie

dokazat chto v pryamougolnom treugolnike centr vpisannoj okruzhnosti seredina

v kube abcda1b1c1d1 tochka m lezhit na rebre aa1 prichem amma131 a tochka n s797af916f993d9f01f435674482e3bac 35028

reshit uravnenie 3tgx tg3x 0 esli mozhno otvet cherez arktangens

reshit uravnenie 2 2cos4x 1 cosx 1

zadachi po gotovym chertezham tema teorema pifagora nado najti h

najdite maksimalnyj obem mnogogrannika s pyatyu vershinami kotoryj mozhno pomest

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social