Ответ:

[tex]\dfrac{15}{4}.[/tex]

Пошаговое объяснение:

Уравнение                               [tex]\dfrac{x^3+1}{x+1}=k.[/tex]

ОДЗ:    [tex]x\not= -1.[/tex]

[tex]\dfrac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}=k;\ \ x^2-x+1=k;\ \ x^2-x+(1-k)=0.[/tex]

1-й случай. [tex]\left \{ {{D > 0} \atop {x_1=-1}} \right. .[/tex]. Положительность дискриминанта равносильна наличию двух различных корней; если один из корней равен минус единице, мы его отбрасываем по ОДЗ и оставляем второй.

[tex]x_1=-1\Rightarrow (-1)^2-(-1)+1-k=0;\ k=3; x_2=2.[/tex]

Итак, k=3 удовлетворяет условию задачи.

2-й случай. [tex]D=0.[/tex] В этом случае корень единственный ([tex]x_1=x_2[/tex]), и надо будет только проверить, что этот корень отличен от минус единицы.

[tex]D=(-1)^2-4(1-k)=4k-3=0;\ \ k=\dfrac{3}{4};\ \ x^2-x+\dfrac{1}{4}=0;\ x_{1,2}=\dfrac{1}{2}\not= -1.[/tex]

Итак, [tex]k=\dfrac{3}{4}[/tex] удовлетворяет условию задачи.

В ответ нужно записать сумму полученных значений параметра k:

                                                 [tex]3+\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{4}.[/tex]