Дан треугольник. Внутри него построены четыре окружности равного радиуса r так, ...

kazimierz2015 @kazimierz2015

August 2021 1 24 Report

Дан треугольник. Внутри него построены четыре окружности равного радиуса r так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите r, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны 5 и 15 соответственно.

Answers & Comments

Матов

Verified answer

Очень кондовое решение
Пусть $AB=a \\ 
 BC=b \\ 
 AC=c \\ 
 c=30*sinB\\ 
 a=30*sin(A+B) \\ 
 b=30*sinA \\ 
$
Последнее через теореме синусов
Тогда , из условию следует что
$sinB+sin(A+B)+sinA = 6*sinB*sin(A+B)*sinA$
Это следствие из формулы $S=pr\\ S=\frac{abc}{4R}$
Теперь , положим что $\angle A= \angle B \\
$
Из выше описанной формулы следует что    $A=B=2arctg( \sqrt{\frac{5-\sqrt{12}}{13}} )\\
$
$b=c=5\sqrt{24-6\sqrt{3}} \\
 a=10\sqrt{5+2\sqrt{3}}$
Впишем наш контр пример , в координатную систему $OXY$
$A(0;0) \\
 B(10\sqrt{5+2\sqrt{3}};0)$
Тогда центры меньших треугольников будут равны
$O_{A} \ (r \sqrt{5+\sqrt{12}} ; r) \\ 
 O _{B} \ ((\sqr{5+\sqrt{12 })*(10-r) ; r) 
$
$O_{N} \ (5 \sqrt{5+\sqrt{12}} ; y) \\ 
 O_{C} \ (5\sqrt{5+\sqrt{12}} ; y+2r) 
$
Найдем координату $y$
Его можно найти
Из уравнения
$(x-r\sqrt{5+\sqrt{12}}) ^ 2 + (y-r)^2=4r^2 \\ 
 ( (x - \sqrt{5+\sqrt{12}})*(10-r))^2+(y-r)^2=4r^2$
Найдя его , затем учитывая что
$d( O_{A}O_{N}) = 4r^2$
Найдем что $r=3$
Но задача , видимо решается через так называемую ГОМОТЕТИЮ

1 votes Thanks 2

vasya otmetil 11 tochek na doske tak chto nikakie tri iz nih ne lezhat na odnoj prya358d8ec7c94a0b2fe0e18d9c90629f1d 29385

Answer

kazimierz2015 August 2022 | 0 Ответы

Answers & Comments

Verified answer

vasya otmetil 11 tochek na doske tak chto nikakie tri iz nih ne lezhat na odnoj prya358d8ec7c94a0b2fe0e18d9c90629f1d 29385

najdite naibolshee prostoe chislo p dlya kotorogo sushestvuet takoe celoe chislo k

najdite vse takie pary naturalnyh chisel m i n chtoby bylo vypolneno ravenstvo 3

petya vypisal na doske 10 celyh chiselne obyazatelno razlichnyh potom on poschita

v pravilnoj treugolnoj piramide abcd s osnovaniem abc izvestny rebra ab12346f633789f281440a81acebf3cbf467a 47344

pust a chyotnoe chislo esli a delitsya na prostoe chislo p to a 1 delitsya na p 1 d

v treugolnike abc provedeny bissektrisy ad i be izvestno chto de bissektrisafdd891d7fa3011dcf747fd604c4fa0b9 63071

v treugolnike abc provedeny bissektrisy ad i be izvestno chto de

najdite v tekste slozhnopodchinyonnoe predlozhenie s pridatochnym prisoedinitelnym

vyberite predlozhenie bez grammaticheskoj oshibki 1 deniska chuvstvoval sebya nasto

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social