Доказать, что если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным, ...

August 2022 1 102 Report

Доказать, что если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным, то его площадь равна корню из произведения сторон

Answers & Comments

Dимасuk

Verified answer

По формуле Брахмагупты площадь вписанного в окружность четырехугольника равна:
$S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$ ,
где a, b, c, d - стороны четырёхугольника, p - полупериметр.
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, т.е.
a + b = c + d
Уберём из формулы площади полупериметр, зная, что a + b = c + d:

$S = \sqrt{(\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - a)(\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - b)} \cdot \\ \\ 
\sqrt{\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - c)(\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - d)} = \\ \\ 
 \sqrt{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg )^4(a + b + c -d)(a + b - c + d)(a - b+ c + d)(-a + b + c + d) } = \\ \\ 
 \sqrt{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg )^4(c + d + c -d)(c + d - c + d)(a - b+ a + b)(-a + b + a + b) }= \\ \\ 
 \sqrt{ \dfrac{1}{16} 2c \cdot 2d \cdot 2a \cdot 2b } = \sqrt{ \dfrac{1}{16}\cdot 16abcd } = \boxed{\sqrt{abcd} }$

2 votes Thanks 5

katyan1va Слишком длинное решение , Вы забыли про свойство вписанного в окружность четырёхугольника.

Dимасuk вообще-то нет, читайте внимательнее, пожалуйста

Answers & Comments

Verified answer

tex]...

tex]...

kakuyu znamenituyu italyanskuyu aktrisu kritiki nazyvali chaplinym v yubke i pochem

tex sostoit iz odnoj tochki

tex]...

tex ispolzovanie proizvodnoj ne privetstvuetsya

sformulirovat i dokazat teoremu napoleona zhelatelno no ne obyazatelno dlya

dokazat chto v lyubom treugolnike tochka peresecheniya median tochka peresecheniya v

chto svyazyvaet imena genri persella i bendzhamina brittena

tex estestvenno predpolagaetsya neotricatelnost vseh peremennyh

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social