Решить уравнение [tex]3+\sqrt{35x^2+12x+1}+\sqrt{35x^2+27x+4}=[/tex] [tex]=\sqrt{35x^2+33x+4}+\sqrt{35x^2+48x+16}[/tex]. Created by yugolovin. algebra-ru

tex]...

Verified answer

Раскладываем трехчлены на множители:
$35x^2+12x+1=0
\\D=144-140=4
\\x_1=\frac{-12+2}{70}=\frac{-10}{70}=\frac{-1}{7}
\\x_2=\frac{-14}{70}=\frac{-1}{5}
\\35(x+\frac{1}{7} )(x+ \frac{1}{5} )=(7x+1)(5x+1)
\\
\\35x^2+48x+16=0
\\D=2304-2240=64
\\x_1=\frac{-48+8}{70}=\frac{-40}{70}=-\frac{4}{7}
\\x_2=\frac{-56}{70}=-\frac{4}{5}
\\35(x+\frac{4}{7})(x+\frac{4}{5})=(7x+4)(5x+4)$
$\\35x^2+27x+4=0
\\D=729-560=169
\\x_1=\frac{-27+13}{70}=\frac{-14}{70}=\frac{-1}{5}
\\x_2=\frac{-27-13}{70}=\frac{-40}{70}=\frac{-4}{7}
\\35(x+\frac{1}{5})(x+\frac{4}{7})=(5x+1)(7x+4)
\\
\\35x^2+33x+4=0
\\D=1089-560=529
\\x_1=\frac{-33+23}{70}=\frac{-10}{70}=\frac{-1}{7}
\\x_2=\frac{-56}{70}=-\frac{4}{5}
\\35(x+\frac{1}{7})(x+\frac{4}{5})=(7x+1)(5x+4)$
получим:
$3+\sqrt{(7x+1)(5x+1)}+\sqrt{(5x+1)(7x+4)}=\\
=\sqrt{(7x+1)(5x+4)}+\sqrt{(7x+4)(5x+4)}
$
рассматриваем 2 случая:
$1)\sqrt{ab}=\sqrt{a}*\sqrt{b}
\\2)\sqrt{ab}=\sqrt{-a}*\sqrt{-b}$
1)
$3+\sqrt{7x+1}*\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+1}*\sqrt{7x+4}\\=\sqrt{7x+1}*\sqrt{5x+4}+\sqrt{7x+4}*\sqrt{5x+4}
\\
\\3+\sqrt{5x+1}*(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4})=\sqrt{5x+4}*(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4})
\\3=\sqrt{5x+4}*(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4})-\sqrt{5x+1}*(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4})
\\3=(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4})*(\sqrt{5x+4}-\sqrt{5x+1})
\\(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4})*(\sqrt{5x+4}-\sqrt{5x+1})=3$
одз:
7x+1>=0
7x+4>=0
5x+4>=0
5x+1>=0

ясно, что $\sqrt{7x+1}-\sqrt{7x+4} \neq 0$ поэтому мы можем умножить уравнение на $(\sqrt{7x+1}-\sqrt{7x+4})$

$3*(\sqrt{5x+4}-\sqrt{5x+1})=3*(\sqrt{7x+4}-\sqrt{7x+1})
\\\sqrt{5x+4}-\sqrt{5x+1}=\sqrt{7x+4}-\sqrt{7x+1}$
возводим обе части в квадрат:
$5x+4-2\sqrt{(5x+4)(5x+1)}-5x-1=
\\=7x+4-2\sqrt{(7x+4)(7x+1)}-7x-1
\\
\\-2\sqrt{(5x+4)(5x+1)}+3=-2\sqrt{(7x+4)(7x+1)}+3
\\\sqrt{(5x+4)(5x+1)}=\sqrt{(7x+4)(7x+1)}$
еще раз возводим в квадрат:
(5x+4)(5x+1)=(7x+4)(7x+1)
но:
(5x+4)(5x+1)>=0 и (7x+4)(7x+1)>=0
$25x^2+5x+20x+4=49x^2+7x+28x+4
\\24x^2+10x=0
\\x(24x+10)=0
\\x_1=0
\\24x+10=0
\\x_2=-\frac{10}{24}=-\frac{5}{12}$
проверяем:
(5*(-5)/12+4)(5*(-5/12)+1)>=0
-25/12<1, значит 2 скобка меньше 0.
корень x=-5/12 не подходит.
проверяем 0:
4*1>=0
4*1>=0
1>=0
4>=0
4>=0
1>=0 - верно, значит x=0 - корень уравнения
теперь рассмотрим 2 случай:
2)
$3+\sqrt{-(7x+1)}*\sqrt{-(5x+1)}+\sqrt{-(5x+1)}*\sqrt{-(7x+4)}\\=\sqrt{-(7x+1)}*\sqrt{-(5x+4)}+\sqrt{-(7x+4)}*\sqrt{-(5x+4)}\\
\\3+\sqrt{-(5x+1)}*(\sqrt{-(7x+1)}+\sqrt{-(7x+4)})=
\\=\sqrt{-(5x+4)}*(\sqrt{-(7x+1)}+\sqrt{-(7x+4)})
\\
\\\sqrt{-(5x+4)}*(\sqrt{-(7x+1)}+\sqrt{-(7x+4)})-
\\\sqrt{-(5x+1)}*(\sqrt{-(7x+1)}+\sqrt{-(7x+4)})=3
\\
\\(\sqrt{-(5x+4)}-\sqrt{-(5x+1)})*(\sqrt{-(7x+4)}+\sqrt{-(7x+1)})=3$
одз:
-(7x+1)<=0
-(7x+4)<=0
-(5x+4)<=0
-(5x+1)<=0
или
7x+1>=0
7x+4>=0
5x+4>=0
5x+1>=0
одз 1 и 2 случая совпали
ясно, что $\sqrt{-(7x+4)}-\sqrt{-(7x+1)} \neq 0$
тогда умножаем уравнение на $(\sqrt{-(7x+4)}-\sqrt{-(7x+1)})$
$(\sqrt{-(5x+4)}-\sqrt{-(5x+1)})*(-7x-4+7x+1)= \\=-3*(\sqrt{-(7x+1)}-\sqrt{-(7x+4)}) 
\\
\\-3*(\sqrt{-(5x+4)}-\sqrt{-(5x+1)})=-3*(\sqrt{-(7x+4)}-\sqrt{-(7x+1)}) \\\sqrt{-(5x+4)}-\sqrt{-(5x+1)}=\sqrt{-(7x+4)}-\sqrt{-(7x+1)}$
выносим $
\sqrt{-1}$ за скобку и сокращаем:
$\sqrt{-1}*(\sqrt{(5x+4)}-\sqrt{(5x+1)})=\sqrt{-1}*(\sqrt{(7x+4)}-\sqrt{(7x+1)})
\\\sqrt{(5x+4)}-\sqrt{(5x+1)}=\sqrt{(7x+4)}-\sqrt{(7x+1)}$
получили тоже самое уравнение с тем же одз, что и в случае 1
Ответ: x=0

3 votes Thanks 0

вкпа ++

yugolovin Корень из произведения не всегда равен произведению корней

oganesbagoyan

Verified answer

Task/24968303
-------------------
Решить уравнение :
3 +√(35x² +12x+1) +√(35x² +27x+4) =√(35x² +33x+4) +√(35x² +48x+16) .
Решение: x =0 решение для данного  уравнения * 3+1 +2 = 2 + 4 *
оказывается другого решения нет .
-------
3 +√( (5x +1)(7x+1) )+√( (7x+4)(5x +1) )=√( (5x+4)(7x+1) )+√( (5x +4)(7x+4) ) ;
ОДЗ : x ∈ (- ∞; - 4 / 5 ] ∪ [ -1 / 7 ;∞) .
----------------------
a) x∈ [ -1 / 7 ;∞) .
3 +√(5x +1) *(√(7x+1)+√(7x+4) )=√(5x+4)*(√(7x+1)+√(7x+4) ) ⇔
(√(7x+4)+√(7x+1) )*(√(5x+4)-√(5x+1) ) = 3⇔
√(7x+4)+√(7x+1) =3 /(√(5x+4)-√(5x+1) ) ⇔ || ясно √(5x+4)-√(5x+1) ≠ 0 ||
√(7x+4) - √(7x+1) = √(5x+4) - √(5x+1) ⇔
√(7x+4) + √(5x+1) = √(7x+1) + √(5x+4)  ⇔
обе части уравнения положительны , возводим в квадрат ,получаем:
√(35x² +27x+4) = √(35x² +33x+4) , что верно только , если  x =0 .
б) аналогично поступаем , если  x ∈ ( - ∞ ; - 4 / 5 ] .
3 +√-(5x +1) *(√-(7x+1)+√-(7x+4) )=√-(5x+4)*(√-(7x+1)+√-(7x+4) ) и т.д.

ответ : x=0

* * * * * * * P.S. * * * * * * *
√a*b =√a*√b , если a и b неотрицательные→ a и b  ≥ 0
√a*b =√(-a)*√(-b) , если  a и b  ≤ 0
ax²+bx +c=a(x-x₁)(x-x₂), если квадратное уравнение имеет корней
(здесь можно и так)
35x² +12x+1 =(36x² +12x+1) - x² =(6x+1)² -x² =(5x+1)(7x+1) ;
35x² +27x+4 =(35x² +12x+1)+3(5x+1) =(5x+1)(7x+1)+3(5x+1)=(7x+4)(5x +1) ;
35x² +33x+4 =(35x² +12x+1)+3(7x+1) =(5x+1)(7x+1)+3(7x+1)=(5x +4)(7x+1) ;
35x² +48x+16 =(36x² +48x+16) -x² =(6x+4)² -x² =(5x+4)(7x+4) .

1 votes Thanks 1

oganesbagoyan Изменил только дизайн

Answers & Comments

Verified answer

Verified answer

tex]...

tex]...

kakuyu znamenituyu italyanskuyu aktrisu kritiki nazyvali chaplinym v yubke i pochem

dokazat chto esli chetyrehugolnik yavlyaetsya odnovremenno vpisannym i opisannym

tex sostoit iz odnoj tochki

tex ispolzovanie proizvodnoj ne privetstvuetsya

sformulirovat i dokazat teoremu napoleona zhelatelno no ne obyazatelno dlya

dokazat chto v lyubom treugolnike tochka peresecheniya median tochka peresecheniya v

chto svyazyvaet imena genri persella i bendzhamina brittena

tex estestvenno predpolagaetsya neotricatelnost vseh peremennyh

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social