докажите, что функция y=-x^2-16x+3 возрастает на промежутке (-бесконечность;-8] ...

dubininaaliaksandra @dubininaaliaksandra

August 2022 1 36 Report

докажите, что функция y=-x^2-16x+3 возрастает на промежутке (-бесконечность;-8] и убывает на промежутке [-8;+бесконечность)

Answers & Comments

nelle987

Verified answer

Возьмем две точки $x_1$ , $x_2$ , причем $x_1$ .

Им соответствуют значения функции $y_1=-x_1^2-16x_1+3$ и $y_2=-x_2^2-16x_2+3$ .

Сравним значения функций в данных точках. Для этого достаточно посмотреть на знак их разности $y_2-y_1$ : если он положительный, то $y_2>y_1$ ; если равен нулю, то значения равны; иначе $y_1$ .

$y_2-y_1=(-x_2^2-16x_2+3)-(-x_1^2-16x_1+3)=\\=(x_1^2-x_2^2)+16(x_1-x_2)=(x_1+x_2)(x_1-x_2)+16(x_1-x_2)=\\=(x_1+x_2+16)(x_1-x_2)$

По предположению, $x_1$ , поэтому вторая скобка отрицательна.

Если $x_1$ , то сумма $x_1+x_2$ меньше -16, тогда первая скобка тоже отрицательна, а всё произведение положительно и $y_2>y_1.$ Получили, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, тогда на отрезке $(-\infty,-8]$ функция возрастает.
Аналогично, для $-8\leqslant x_1$ произведение отрицательно. Здесь большему значению аргумента соответствует меньшее значение значение функции, по определению это значит, что функция убывает.