Verified answer

Пронумеруем друзей и их собственные ручки от одного до пяти:

1,2,3,4,5.  

Раздаваемые ручки будем располагать по порядку от первого друга к пятому, то есть комбинация цифр 12345 означает, что каждый друг получил собственную ручку.

==============================================

Рассмотрим задачу с точки зрения первого друга.

I ситуация.

Если первый из друзей просто поменяется ручками со вторым другом, то останется распределить три ручки, и это можно сделать только двумя способами, чтобы никто не получил свою ручку:

1 ↔ 2;   ⇒  21453,  21534    -  2 варианта.

            ⇒  21345, 21354, 21435,  21543 -  не подходят, так как в каждой комбинации хоть одна из цифр 3,4,5 стоит на своём месте.

II ситуация.

Если первый из друзей взял ручку второго друга, а второй взял ручку третьего:

1 ← 2;  2 ← 3;  ⇒  23145, 23415, 23541 -  не подходят.

                     ⇒  23154, 23451, 23514 -  3 варианта.

Так как второй друг может взять любую из трёх ручек (3,4,5), то всего будет

3 · 3 = 9 вариантов:

23154, 23451, 23514, 24153, 24513, 24531, 25134, 25413, 25431.

Итак, если первый друг возьмет вторую ручку, то всего возможно

2 + 9 = 11 вариантов.

Так как первый друг может взять любую из четырёх ручек (2,3,4,5), то всего возможно

11 · 4 = 44 способа.

Ответ: 44 способа.