1)

Критические точки функции --- точки, в которых производная функции обращается в нуль. Так,

[tex]f(x) = 2\cos 2x - \cos x \implies f'(x) = -4\sin 2x + \sin x[/tex], и критические точки находятся из уравнения

[tex]f'(x) = 0,\\[2ex] 8\sin x\cos x - \sin x = 0,\\[2ex] (8\cos x - 1 )\sin x = 0,\\[2ex] x\in \big\{\pi n \, \big| \, n \in \mathbb{Z}\big\}\bigcup \big\{{\pm\arccos\tfrac{1}{8}}+ 2 \pi k \, \big| \, k\in\mathbb{Z}\big\}.[/tex]

На отрезке [tex]\big[{-2\pi};\;\tfrac{\pi}{2}\big][/tex] из первого множества находятся 3 точки, из второго --- тоже 3, поскольку [tex]\arccos\tfrac{1}{8} < \tfrac{\pi}{2}[/tex].

Ответ. 6 точек.

2)

[tex]y(t) = \tfrac{2t^3}{3}-\tfrac{33t^2}{2}+16t - 7 \implies y'(t) = 2t^2 - 33t + 16.[/tex]

Так,

[tex]y(2^x) = 2\cdot (2^x)^2-33\cdot 2^x + 16 \leq 0[/tex],

введём замену [tex]u = 2^x, \, u > 0[/tex]. Тогда

[tex]2u^2 - 33u + 16 \leq 0,\\[2ex] u^2 - \tfrac{33}{2} u + 8 \leq 0,\\[2ex] \big(u-\tfrac{33}{4}\big)^2 - \tfrac{961}{16} \leq 0,\\[2ex] \big(u-\tfrac{33}{4}\big)^2 \leq \tfrac{961}{16} \iff \tfrac{33 - 31}{4}\leq u \leq \tfrac{33+31}{4}\iff \tfrac{1}{2}\leq u \leq 16,\, u > 0.[/tex]

Возвращаемся к исходной переменной:

[tex]2^{-1}\leq 2^{x}\leq 2^4 \iff -1\leq x \leq 4.[/tex]

Так, сумма целых решений равна [tex]\Sigma = -1 + 0 + 1 + 2 +3 + 4 = 9.[/tex]

Ответ. 9