Ответ:

Циркуляция векторного поля:

[tex]\boldsymbol{\boxed{ \oint\limits_\Gamma {\overrightarrow{F}} \, dl =-2\pi}}[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\overrightarrow{F} = y\overrightarrow{i} - x\overrightarrow{j}+z^{2}\overrightarrow{k}[/tex]- векторное поле

[tex]\displaystyle \Gamma:\left \{ {{x^{2} +y^{2}=1} \atop {z=4}} \right.[/tex]

По формуле Стокса в общем виде:

[tex]\boxed{ \oint\limits_\Gamma {\overrightarrow{F}} \, dl = \iint\limits_{S} { \text{rot} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n}} \, dS }[/tex]

Ротор векторного поля:

[tex]\text{rot} \overrightarrow{F} = \bigg(\dfrac{\partial }{\partial y} \bigg(z^{2} \bigg) -\dfrac{\partial }{\partial z} \bigg(-x \bigg) \bigg)\overrightarrow{i} + \bigg( \dfrac{\partial }{\partial z} \bigg(y \bigg) -\dfrac{\partial }{\partial x} \bigg(z^{2} \bigg) \bigg)\overrightarrow{j}+[/tex]

[tex]+\bigg(\dfrac{\partial }{\partial x} \bigg(-x \bigg) -\dfrac{\partial }{\partial y} \bigg(y \bigg) \bigg)\overrightarrow{k}= 0 \cdot \overrightarrow{i} + 0 \cdot \overrightarrow{j} + (-1-1) \cdot \overrightarrow{k} = -2\overrightarrow{k} = \{0;0;-2\}[/tex]

Вектор нормали к поверхности [tex]z:[/tex]

[tex]\overrightarrow{n} = \overrightarrow{k} = \{0;0;1\}[/tex]

[tex]\text{rot}\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n}} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 = -2[/tex]

[tex]\displaystyle \oint\limits_\Gamma {\overrightarrow{F}} \, dl = \iint\limits_{S} { \text{rot} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n}} \, dS = \iint\limits_{S} { -2} \, dS = -2 \iint\limits_{S} { } \, dS =-2S_{p}[/tex], где [tex]S_{p} \ -[/tex] площадь ограниченная контуром [tex]\Gamma[/tex].

Так как контур [tex]\Gamma[/tex] ограничивает окружность радиуса [tex]R =1[/tex], то площадь поверхности можно найти по формуле площади круга, тогда:

[tex]S_{p} = \pi R^{2} = \pi \cdot 1^{2} = \pi[/tex]

[tex]\displaystyle \oint\limits_\Gamma {\overrightarrow{F}} \, dl =-2S_{p}=-2\pi[/tex]

#SPJ1