Ответ:

Найти область значений функции   [tex]\bf y=2\, sin\, a-sin^2a+2\, cos^2a[/tex]   .

Cначала упростим функцию .

[tex]\bf 2\, sina-sin^2a+2\, cos^2a= 2\, sina-sin^2a+2\, (1-sin^2a)=\\\\=2\, sina-sin^2a+2-2\, sin^2a=-3sin^2a+2\, sina+2=\\\\=-3\Big(sin^2a-\dfrac{2}{3}\, sina\Big)+2=-3\Big(\Big(sina-\dfrac{1}{3}\Big)^2-\dfrac{1}{9}\Big)+2=\\\\=-3\Big(sina-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{1}{3}+2=-3\Big(sina-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{7}{3}\ \ ;[/tex]  

Итак , функция примет вид    [tex]\bf y=-3\Big(sin\, a-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{7}{3}[/tex]    .

Для функции  y = sinx  известно множество значений :  -1 ≤ sinx ≤ 1 . Поэтому

[tex]\bf -1\leq sin\, a\leq 1\ \ ,\ \ -\dfrac{4}{3}\leq sin\, a-\dfrac{1}{3}\leq \dfrac{2}{3}\ \ ,\ \ \ 0\leq \, \Big(sin\, a-\dfrac{1}{3}\Big)^2\leq \dfrac{16}{9}\ \ ,\\\\\\-\dfrac{16}{3}\leq -3\Big(sin\, a-\dfrac{1}{3}\Big)^2\leq \, 0\ \ \ \ ,\ \ \ -\dfrac{9}{3}\leq -3\, \Big(sin\, a-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{7}{3}\leq \dfrac{7}{3}\\\\\\\ \ -3\ \leq \, -3\, \Big(sin\, a-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{7}{3}\ \leq \ 2\dfrac{1}{3}[/tex]

Значит заданная функция имеет множество значений     [tex]\bf E(y)=\Big[\ -3\ ;\ 2\dfrac{1}{3}\ \Big][/tex]   .