Дано:

h = 4 см

x = 3 см

y = 1 см

h₁ - ?

Решение:

Задачу можно решить очень просто, а можно и чуть поподробнее. В обоих случаях плотность ртути не нужна для решения, т.к. она сокращается ещё задолго до выражения h₁.

Простое решение (математическое):

Давления жидкостных столбов в коленах равны:

p₁ = p₂

ρgh₁ = ρ_рт*gh₂

До того, как налили лёгкую жидкость, уровни ртути в коленах совпадали. Значит, после добавления жидкости уровень ртути во втором колене поднялся на такую высоту, на какую понизился уровень ртути в первом. Эта высота равна половине рассматриваемой h₂ в уравнении давлений:

H = h₂/2

С другой стороны:

h₂ = h₁ - h =>

=> H = (h₁ - h)/2

Затем, когда добавили ещё немного жидкости, уровень в первом колене повысился на x см, а во втором, где одна ртуть, он повысился на y.

Фактически, мы можем составить два уравнения давлений. Если мы можем составить два уравнения, в каждом из которых - одинаковые неизвестные, то одну из них мы можем выразить из первого равенства давлений и подставить во второе. Очевидно, что этой неизвестной будет плотность лёгкой жидкости. Она в любом случае будет выражаться через плотность ртути, причём плотность ртути в этом выражении будет в числителе. Ну а если так, то при подстановке выражения во второе уравнение плотность ртути сократится в обеих его частях. Вот:

ρgh₁ = ρ_рт*gh₂ - первое уравнение

ρg(h₁ + х) = ρ_рт*g(h₂ + 2y) - второе уравнение (двойной игрек означает то, что новая высота уровня ртути по сравнению с его прежней увеличилась на двойное повышение самого уровня - ведь в первом колене он понизился, тогда понижение + повышение = y + y = 2y)

ρ = ρ_рт*gh₂/gh₁ = ρ_рт*h₂/h₁ =>

=> (ρ_рт*h₂/h₁)*g(h₁ + х) = ρ_рт*g(h₂ + 2y) | : ρ_рт*g

h₂(h₁ + х)/h₁ = h₂ + 2y - в итоге мы работаем только с высотами и их изменениями

Вот дальше как раз и будет подробное решение. Но для простого решения (не то, чтобы простого, а математического) нам достаточно знать следующее:

Ничего не добавляют - уровни ртути одинаковые. Добавили жидкость (высота её уровня равна h₁) - уровень ртути повысился на h₂/2. Потом снова добавили жидкость (высота её уровня увеличилась на x) - уровень ртути повысился на y. То есть:

0 => 0

h₁ => h₂/2

h₁ + x => h₂/2 + y

Закономерность! Мы можем приравнять высоту лёгкой жидкости к изменению уровня ртути, т.к. они находятся в прямой зависимости друг от друга. Напрашивается решение пропорцией:

Если h₁ = h₂/2,

а h₁ + х = h₂/2 + y, то поделим одно уравнение на другое:

h₁/(h₁ + х) = (h₂/2)/(h₂/2 + y) - перевернём для удобства:

(h₁ + х)/h₁ = (h₂/2 + y)/(h₂/2)

1 + х/h₁ = 1 + y/(h₂/2) - отнимаем единицу из обеих частей уравнения:

х/h₁ = y/(h₂/2)

х/h₁ = 2y/h₂ - выражаем h₂ как (h₁ - h):

х/h₁ = 2y/(h₁ - h) - делаем перестановку - умножаем обе части на (h₁ - h)/х:

(h₁ - h)/h₁ = 2y/x

1 - h/h₁ = 2y/x

1 - 2y/x = h/h₁

h₁ = h/(1 - 2y/x) = 4/(1 - 2*1/3) = 4/(3/3 - 2/3) = 4/(1/3) = 4*3 = 12 см

Да, решение получилось подробным. Потому что много места занимает объяснение. Но основная часть решения фактически производится мысленно, а записать пропорцию - это занимает совсем немного времени и места. Однако математический способ подойдёт разве что там, где нужен краткий ответ, а не развёрнутый. Потому что мы всё-таки решаем физическую задачу.

Подробное решение:

ρgh₁ = ρ_рт*gh₂ - равенство давлений столбов

ρg(h₁ + х) = ρ_рт*g(h₂ + 2y) - равенство давлений столбов после добавления лёгкой жидкости

ρ = ρ_рт*gh₂/gh₁ = ρ_рт*h₂/h₁ =>

=> (ρ_рт*h₂/h₁)g(h₁ + х) = ρ_рт*g(h₂ + 2y) | : ρ_рт*g

h₂(h₁ + х)/h₁ = h₂ + 2y - мы избавились от плотности ртути, но сохранили физический смысл уравнения - равенство давлений. Подставляем вместо высоты h₂ её выражение, раскрываем скобки и выражаем h₁:

h₂ = h₁ - h =>

=> (h₁ - h)*(h₁ + х)/h₁ = (h₁ - h) + 2y

(h₁ - h)*(h₁ + х) = h₁*(h₁ - h + 2y)

h₁² + h₁*x - h₁*h - h*x = h₁² - h₁*h + h₁*2y

h₁² - h₁² + h₁*x - h₁*h + h₁*h - h*x = h₁*2y

h₁*x - h*x = h₁*2y

h₁*x - h₁*2y = h*x

h₁*(x - 2y) = h*x

h₁ = h*x/(x - 2y) = 4*3/(3 - 2*1) = 12/1 = 12 см