На краю свободно вращающейся карусели стоит человек массой m. Какую работу должен совершить человек, чтобы перейти к центру карусели ? Радиус карусели R.
Задачи номер 10.14 и 10.15 , пожалуйста, буду очень благодарен
Задачи номер 10.14 и 10.15 , пожалуйста, буду очень благодарен
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
10.14.Момент импульса системы измениться не может, поскольку карусель движется по инерции без внешних воздействий.
Если домножить кинетическую энергию вращения Eк на момент инерции J – то мы получим половину квадрата момента импульса, а эта величина, что очевидно, так же неизменна. Итак:
JEк = const ;
Jo Eкo = J Eк ;
Вначале: Jo = I + mR² + Io ;
В конце: J = I + Io , где Io – вертикальный момент инерции человека.
Eк = Eкo Jo/J ;
На увеличение энергии потребуется работа:
A = Eк – Eкo = Eкo Jo/J – Eкo = Jo ω²(Jo–J)/[2J] ;
A = ( I + mR ² + Io ) mR²ω² / [ 2 (I+Io) ] = ( 1 + mR²/[I+Io] ) mR²ω²/2 ;
Карусель вместе с человеком в центре – начнёт крутиться быстрее. Это произойдёт потому, что переходя в более близкие к центру участки, которые движутся с меньшей мгновенной линейной скоростью – человеку тоже придётся немного сбрасывать мгновенную линейную скорость (для этого ему придётся немного отклоняться вбок, против хода карусели, а иначе его занесёт по её ходу). Из-за того, что человек будет сбрасывать мгновенную линейную скорость – он будет передавать свой мгновенный линейный импульс карусели, раскручивая её. Эту силу инерции в неинерциальных системах отсчёта – называют силой Кориолиса.
Из соотношения следует любопытные выводы:
1) Если карусель достаточно массивна, то работа человека равна его начальной кинетической энергии.
2) Если масса человека равна моменту инерции карусели, делённому на её радиус, то работа, которую совершает человек – примерно вдвое больше начальной кинетической энергии человека (или карусели – т.к. эти величины равны).
3) Если карусель чрезвычайно лёгкая конструкция – то работа, которую должен совершить человек по отношению к его начальной кинетической энергии – кратна квадрату отношения радиуса карусели к средне-инерционному радиусу своего тела. Т.е. в случае лёгкой карусели, такая работа может быть и в 25 и в 100 раз больше его начальной кинетической энергии. Т.е. по лёгкой карусели очень сложно пробираться в её центр. Довольно поразительно – но факт.
Момент инерции человека Io – величина не совсем устойчивая, поскольку человек меняет свою позу, и с ней меняется Io, поэтому его учёт достаточно условен. А если известно, что среднее значение Io пренебрежимо мало по сравнению с I и mR², то мы обоснованно можем этим значением пренебречь:
A = (1+mR²/I) mR²ω²/2 .
10.15.
Импульс сохраняется, поэтому:
mv = Mo V , где Mo – суммарная масса, а V – скорость центра масс доски и пули.
m²v²/2 = Mo² V²/2 ;
Екл = Mo V²/2 = [m/Mo] mv²/2 ;
Екл = [m/Mo] Eкo , где Eкo – начальная кинетическая энергия, а Eкл – кинетическая энергия конечного совместного линейного движения центра масс доски и пули.
Момент импульса в системе центра масс сохраняется, поэтому:
m vц L/4 = Jω , где vц – скорость пули в системе центра масс, J = Mo L²/12 – момент инерции доски относительно центра масс, а L/4 = L/2 – L/4 – расстояние от центра масс доски длины L до места попадания пули (смещением центра масс пренебрегаем, поскольку m << M).
m² vц² L² /32 = J²ω²/2 ;
Eкв = Jω²/2 = m² vц² L² / [32J] = m² vц² L² / [ 32 Mo L² / 12 ] = 3m/[4Mo] m vц²/2 ;
Поскольку vц = v – V = v – v m/Mo = v ( 1 – m/Mo ) = v M/Mo ≈ v , то пренебрегая отличием vц от v мы поручим ошибку второго порядка малости, а при условии m << M – такое пренебрежение полностью оправдано.
Eкв = 3m/[4Mo] Eкo , где Eкв – кинетическая энергия конечного совместного вращения доски с пулей.
Общая кинетическая энергия конечного совместного движения доски с пулей сложится из кинетической энергии совместного линейного движения и совместного вращения:
Eк = Eкл + Eкв = [m/Mo] Eкo + 3m/[4Mo] Eкo = 7m/[4Mo] Eкo ;
Учитывая, что Mo = M + m = M ( 1 + m/M ) ≈ M , поскольку m << M , имеем:
Конечная кинетическая энергия: Eк ≈ 7m/[4M] mv²/2 ≈ 7m²v²/[8M] ;
Кинетическая энергия, перешедшая во внутреннюю: K ≈ (1–7m/[4M]) mv²/2 .