На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки M и K соответственно так, что ∠BAM=∠CKM=30°. Найдите ∠AKD.
Answers & Comments
gtnzcdtnf
Из условия задачи следует, что ∠BMA = ∠CMK = 60◦, а тогда и ∠AMK = 60◦. Далееможно рассуждать по-разному:
Первый способ. Диагональ CA квадрата является биссектрисой внутреннего угла треугольника CMK, а луч MA — биссектрисой его внешнего угла, поэтому вершина A —центр вневписанной окружности этого треугольника. Следовательно, KA также является биссектрисой внешнего угла треугольника CMK, поэтому ∠AKD =12∠MKD = 75◦.
Второй способ. Продлим отрезок KM до пересечения с прямой AB в точке P. Тогда ∠PMB = ∠CMK = ∠AMB. Следовательно, прямоугольный треугольникиPMB и AMB равны (по катету и острому углу), тогда PB = AB, то есть AP = 2a, где a —сторона данного квадрата, и PM = AM.По свойству катета, противолежащего углу в 30◦ в прямоугольном треугольнике,AM = 2BM и MK = 2MC. Следовательно, PK = PM + MK = 2(BM + MC) = 2BC = 2a.Таким образом, треугольник APK — равнобедренный с углом 30◦ при вершине P,поэтому его угол при основании равен 75◦. Так как ∠MKD = 150◦, а ∠MKA = 75◦, то∠AKD = 75◦.
Answers & Comments
Первый способ. Диагональ CA квадрата является биссектрисой внутреннего угла треугольника CMK, а луч MA — биссектрисой его внешнего угла, поэтому вершина A —центр вневписанной окружности этого треугольника. Следовательно, KA также является биссектрисой внешнего угла треугольника CMK, поэтому ∠AKD =12∠MKD = 75◦.
Второй способ. Продлим отрезок KM до пересечения с прямой AB в точке P. Тогда ∠PMB = ∠CMK = ∠AMB. Следовательно, прямоугольный треугольникиPMB и AMB равны (по катету и острому углу), тогда PB = AB, то есть AP = 2a, где a —сторона данного квадрата, и PM = AM.По свойству катета, противолежащего углу в 30◦ в прямоугольном треугольнике,AM = 2BM и MK = 2MC. Следовательно, PK = PM + MK = 2(BM + MC) = 2BC = 2a.Таким образом, треугольник APK — равнобедренный с углом 30◦ при вершине P,поэтому его угол при основании равен 75◦. Так как ∠MKD = 150◦, а ∠MKA = 75◦, то∠AKD = 75◦.