Mc - медиана к стороне с; ma - медиана к стороне a; mb - медиана к стороне b; (2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2; (2*mb)^2 = 2*(a^2 + c^2) - b^2; (2*ma)^2 = 2*(b^2 + c^2) - a^2; 4*(ma^2 + mb^2 + mc^2) = 2*a^2 + 2*b^2 - c^2 + 2*a^2 + 2*c^2 - b^2 + 2*b^2 + 2*c^2 - a^2 = 3*(b^2 + c^2 + a^2); это всё
формулу для длины медианы (2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2; лучше всего запоминать именно в такой форме. Получается она элементарно - если продолжить медиану mc на "свою длину" за точку пересечения со стороной c, то треугольник "достраивается" до параллелограмма, в нем диагонали равны с и 2*mc, а стороны a и b. Если теперь записать теорему косинусов для двух треугольников - исходного с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(Ф); и треугольника со сторонами a, b и 2*mс (2*mс)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(Ф); и сложить, как раз и получится нужная формула.
37 votes Thanks 53
cos20093
ну, или вот - у параллелограмма a,b - стороны, c, d -диагонали. c^2 + d^2 = 2*(a^2 + b^2); получается именно так, как в решении.
Answers & Comments
Verified answer
Mc - медиана к стороне с; ma - медиана к стороне a; mb - медиана к стороне b;(2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2;
(2*mb)^2 = 2*(a^2 + c^2) - b^2;
(2*ma)^2 = 2*(b^2 + c^2) - a^2;
4*(ma^2 + mb^2 + mc^2) = 2*a^2 + 2*b^2 - c^2 + 2*a^2 + 2*c^2 - b^2 + 2*b^2 + 2*c^2 - a^2 = 3*(b^2 + c^2 + a^2); это всё
формулу для длины медианы (2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2; лучше всего запоминать именно в такой форме. Получается она элементарно - если продолжить медиану mc на "свою длину" за точку пересечения со стороной c, то треугольник "достраивается" до параллелограмма, в нем диагонали равны с и 2*mc, а стороны a и b. Если теперь записать теорему косинусов для двух треугольников - исходного с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(Ф); и треугольника со сторонами a, b и 2*mс
(2*mс)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(Ф); и сложить, как раз и получится нужная формула.