Найти общее решение неоднородного ОДУ с постоянными коэффициентами второго поряд...

July 2022 1 12 Report

Найти общее решение неоднородного ОДУ с постоянными коэффициентами второго порядка методом вариации произвольной постоянной

Answers & Comments

Удачник66

Verified answer

Неоднородное уравнение 2 порядка
Сначала решаем однородное
y'' - 2y' + y = 0
Характеристическое уравнение
k^2 - 2k + 1 = (k - 1)^2 = 0
k1 = k2 = 1
Общее решение однородного уравнения
y = (C1+C2*x)*e^x = C1*e^x + C2*x*e^x
Теперь находим частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных.
y0 = C1(x)*e^x + C2(x)*x*e^x = C1(x)*y1 + C2(x)*y2
Обозначим C1 и C2 как функции C1(x) и C2(x). Решаем систему
{ C1'(x)*y1 + C2'(x)*y2 = 0
{ C1'(x)*(y1)' + C2'(x)*(y2)' = e^x/x
В нашем случае
(y1)' = (e^x)' = e^x; (y2)' = (x*e^x)' = e^x + x*e^x = e^x*(x+1)
{ C1'(x)*e^x + C2'(x)*e^x*x = 0
{ C1'(x)*e^x + C2'(x)*e^x*(x+1) = e^x/x
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
{ C1'(x) = -C2'(x)*e^x*x/e^x = -C2'(x)*x
{ -C2'(x)*x*e^x + C2'(x)*e^x*(x+1) = e^x/x
C2'(x)*(-x*e^x + x*e^x + e^x) = e^x/x
C2'(x)*e^x = e^x/x
C2'(x) = 1/x; C2(x) = ln |x|
C1'(x) = -C2'(x)*x = -1/x*x = -1; C1(x) = -x
Подставляем в уравнение
y = (C1+C2*x)*e^x = (-x + x*ln |x|)*e^x

2 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

prointegrirovat odnorodnoe odu

najti obshee reshenie odnorodnogo odu s postoyannymi koefficientami vtorogo poryadka

vyyasnit yavlyaetsya li funkciya resheniem differencialnogo uravneniya

reshit zadachu koshi dlya linejnogo odu

reshit odu pervogo poryadka

pomogite reshit sistemu odu

reshit uravnenie lagranzha

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social