Найти сумму без использования индукции: 1*2 + 2*3*x+3*4*x^2+ 4*5*x^3+..... Created by джигурда. matematika-ru

Найти сумму без использования индукции: 1*2 + 2*3*x+3*4*x^2+ 4*5*x^3+...

джигурда @джигурда

July 2021 1 4 Report

Найти сумму без использования индукции: 1*2 + 2*3*x+3*4*x^2+ 4*5*x^3+....

Answers & Comments

Voxman

Это степенной ряд, найдём его радиус сходимости.

Согласно признаку Даламбера.

$R = lim_{n -> +\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|= lim_{n -> +\infty}|\frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)(n+3)}| =\\\\ lim_{n -> +\infty}|\frac{(n+1)}{(n+3)}| =lim_{n -> +\infty}|1 - \frac{2}{n+3}| = 1$

Так как радиус сходимости степенного ряда равен 1, то при |x| >1, ряд расходится.

Проверим сходимость в точках x = 1 и x = -1.

При x = 1, ряд (*) — расходится (так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда).

При x = -1, ряд (*) – расходится (так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда).

Ряд сходится при |x| < 1.

$S_n = 1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1}\\\\ 1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1} =\\\\ (2x+3x^2+4x^3+5x^4+ ... + (n+1)x^{n})' = \\\\(x^2+x^3+x^4+x^5+ ... + x^{n+1})'' =\\\\ (x^2(1+x+x^2+x^3+ ... + x^{n-1}))''$

$1+x+x^2+x^3+ ... + x^{n-1} + ...$ - разложение в ряд Маклорена функции $\frac{1}{1-x}$

См. дальнейшее решение во вложении.

при $|x| < 1$

Answers & Comments

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social