Сумма коэффициентов многочлена это его значение в точке x=1
Значит
[tex]P(1)Q(1)+R(1)=6\\P(1)R(1)+Q(1) = 1[/tex]
Сложим и получим
[tex](P(1)+1)(Q(1)+R(1))=7[/tex]
Так как все коэффициенты [tex]P(x)[/tex] натуральные числа, [tex]P(1)[/tex] как сумма этих коэффициентов тоже число натуральное. С другой стороны 7 - число простое, мы понимаем, что единственный вариант это
[tex]P(1)+1=7\\Q(1)+R(1)=1[/tex]
Так что [tex]P(1)[/tex] может быть только 6
1 votes Thanks 1
reygen
Вычтем из первого второе, и поймёте что кроме 6 есть 2
reygen
А нет, под вечер голова уже не варит, все верно, спасибо
yugolovin
Нужна еще проверка - Вы же перешли от системы к одному уравнению, а этот переход не обязан быть равносильным
Amalgamma143
Пожалуй да, 6Q+R = 6, 6R+Q=1 имеет решение R=0, Q=1, что действительно возможно при целых коэффициентах многочленов
Answers & Comments
Сумма коэффициентов многочлена это его значение в точке x=1
Значит
[tex]P(1)Q(1)+R(1)=6\\P(1)R(1)+Q(1) = 1[/tex]
Сложим и получим
[tex](P(1)+1)(Q(1)+R(1))=7[/tex]
Так как все коэффициенты [tex]P(x)[/tex] натуральные числа, [tex]P(1)[/tex] как сумма этих коэффициентов тоже число натуральное. С другой стороны 7 - число простое, мы понимаем, что единственный вариант это
[tex]P(1)+1=7\\Q(1)+R(1)=1[/tex]
Так что [tex]P(1)[/tex] может быть только 6