1)   Пусть  последовательность положительных чисел

                          ...   ;  

является геометрической прогрессией, тогда

с помощью формулы общего члена  геометрической прогрессии   данную последовательность представим в виде:

                     ... ;  

2)    Прологарифмируем  по основанию :

              ...  ;  

3)    Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  

4)    Рассмотрим полученную последовательность:

                   ... ;    

Очевидно, это арифметическая прогрессия, где

   - её первый член

 -  разность этой прогрессии.

Доказано.