Ответ:

х = 4

Объяснение:

ОДЗ: х+1 >0 (число под знаком логарифма), х > -1.

1) В правой части: (х²+2х+1) = (х+1)²

2) Так как (х+1) >0, то можно обе части уравнения разделить на (х+1)². Справа - остаётся 25, или 5², а слева - показатели степеней вычитаются, при этом log₂32 = 5, получаем:

(х+1) ^ (log₀,₂ (х+1) + 5 - 2) = 5²

(х+1) ^(log₀,₂ (х+1) + 3) = 5²

Следовательно (основания степеней слева и справа равны; показателей степеней слева и справа равны):

3) х+1 = 5, откуда х = 4;

4) log₀,₂ (х+1) + 3 = 2

log₀,₂ (х+1) = - 1

Согласно определению логарифма:

(1/5)⁻¹ = х+1

5 = х+1

х = 4.

ПРОВЕРКА

Левая часть при х = 4 равна:

(4+1) ^ (log₀,₂ (4+1) + 5) = 5^ (log₀,₂ (4+1)+5) = 5^ (-1+5) = 5⁴ = 625.

Правая часть при х = 4 равна:

25·(х²+2х+1) = 25·(4²+2·4+1) = 25·25 = 625

Левая часть равна правой части - значит, корень уравнения найден верно.

Ответ: х = 4.

ПРИМЕЧАНИЕ

^ - знак возведения в степень.